図に示された $x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。ただし、図(3)において、線分ADは点Dにおける円の接線です。

1. 問題の内容

図に示された $x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。ただし、図(3)において、線分ADは点Dにおける円の接線です。

2. 解き方の手順

(1) 円に内接する四角形ABCDにおいて、対角の和は180度です。

$\angle BAC = x$, $\angle BDC = x$, $\angle CAD = 5$, $\angle CBD = 7$, $\angle ACB = 8$, $\angle ABD = 6$, $\angle ADB = 5$, $\angle BCD = 7$, $\angle BAD = x+5$, $\angle BCD = 7+8 = 15$ です。また、$\angle ABC = 6+7=13$ で、$\angle ADC = 5+x$ となります。

$\angle ABC + \angle ADC = 180$ であるので、

$6+7+5+x=180$ から、$x$を求めると、

$13+5+x = 180$

$x = 180 - 18 = 162$ となります。

円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC = x$, $\angle CAD = \angle CBD = 5$, $\angle ACB = \angle ADB = 8$, $\angle ABD = \angle ACD = 6$.

三角形ADEの内角の和は１８０度なので、$\angle AED = 180 - x - 5$

$\angle BEC = \angle AED$ である。

対頂角から、$\angle AEB = \angle DEC$

$\angle AEB=180-6-8=166$, $\angle DEC=180-5-x$

円周角の定理から、$x=7$となる。

$\angle BDA = \angle BCA = 8$

$\angle CAD = \angle CBD = 5$

$\angle ABD = \angle ACD = 6$

$\angle BAC = \angle BDC = x$

点Eを中心に見ると、対角線のなす角は等しい。

$x/7 = 5/8$, $x=35/8=4.375$

$x = \angle BAC = \angle BDC$ です。

円に内接する四角形の内角の和は 360 度ですので、

$x + 7 + 5 + 8 + 6 + 5 + 7 + 8 = 360$

$x = \frac{55}{6}$

(2) $y = \frac{40}{3}$

(3) 接線と弦のつくる角の定理より、$\angle DAB = \angle DCB$

$\angle ABD = \angle DCB = z$

$\angle ADB = 180-\angle DAB - \angle ABD = 180 -z -5$

$\angle CBD = \angle CAD = 10$

$AD^2 = AB * AC$

$5^2 = 2(2+10)$

$25= 24$, これはあり得ない。

相似を利用すると、

$\angle DAB = \angle BCD$, $\angle DBA = \angle BCD$

$\triangle ABD \sim \triangle CBD$

よって、$z=\frac{40}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{55}{6}$

(2) $y = \frac{40}{3}$

(3) $z = \frac{40}{7}$