与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めること。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めること。

はい、承知いたしました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めること。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ より $\frac{1}{a} = \frac{2}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{2(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{2(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{2(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

$\frac{2}{a} = 2 \times \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$ より

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16}{a^4} - 2(\frac{4}{a^2}) - 1$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$ より、$a^2 = 14 - \frac{4}{a^2}$

$a^4 + \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})^2 - 2 \times a^2 \times \frac{4}{a^2} = 14^2 - 8 = 196 - 8 = 188$

$a^4 - \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) = (14)(a^2 - \frac{4}{a^2})$

$(a - \frac{2}{a})^2 = a^2 - 4 + \frac{4}{a^2}$ より $a^2 - \frac{4}{a^2} = (a - \frac{2}{a})^2 + 4 - 4 = a^2 + \frac{4}{a^2} - 4$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2} \times \sqrt{10} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} = 14 (a^2 - \frac{4}{a^2}) = 14(3\sqrt{2}\sqrt{10}) = 14 (3\sqrt{20}) = 14 \times 6\sqrt{5} = 84\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 84\sqrt{5} - 2(14-a^2) - 1$

計算が複雑なので、別の方法を検討します。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - 2\cdot\frac{4}{a^2} - 1 = 14(a^2 - \frac{4}{a^2}) - 2\cdot\frac{4}{a^2} - 1$

$a - \frac{2}{a} = \sqrt{10}$ から、$(a-\frac{2}{a})^2 = 10$, よって $a^2 - 4 + \frac{4}{a^2} = 10$, したがって$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$ が成り立ちます。

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a}) (a-\frac{2}{a}) = 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$

よって、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 14 \cdot 6\sqrt{5} - \frac{8}{a^2} - 1$

$\frac{1}{a^2} = (\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})^2 = \frac{18 - 6\sqrt{20} + 10}{16} = \frac{28 - 12\sqrt{5}}{16} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

よって、$\frac{8}{a^2} = 2(7-3\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5}$

したがって、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 84\sqrt{5} - (14 - 6\sqrt{5}) - 1 = 90\sqrt{5} - 15$

最終的な数値計算

$a^4-\frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 90\sqrt{5} - 15$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $-15 + 90\sqrt{5}$