2次関数 $f(x) = ax^2 - 4ax - 2a^2 + 3$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 放物線C（$y=f(x)$）の軸を求めます。 (2) Cが点(-2, 3)を通るときの $a$ の値を求めます。 (3) $a=1$ のとき、Cを平行移動し、x軸に関して対称移動すると $y=-x^2-6x-8$ に重なる時の移動量を求めます。 (4) $a=-1$ のとき、$k \le x \le k+2$ における $f(x)$ の最小値が -1 となるような定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 4ax - 2a^2 + 3$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 放物線C（$y=f(x)$）の軸を求めます。

(2) Cが点(-2, 3)を通るときの $a$ の値を求めます。

(3) $a=1$ のとき、Cを平行移動し、x軸に関して対称移動すると $y=-x^2-6x-8$ に重なる時の移動量を求めます。

(4) $a=-1$ のとき、$k \le x \le k+2$ における $f(x)$ の最小値が -1 となるような定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = ax^2 - 4ax - 2a^2 + 3$ を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 - 4x) - 2a^2 + 3 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2a^2 + 3 = a(x-2)^2 - 4a - 2a^2 + 3$

よって、軸は $x = 2$ です。

(2) Cが点(-2, 3)を通るということは、$f(-2) = 3$ ということです。

$f(-2) = a(-2)^2 - 4a(-2) - 2a^2 + 3 = 4a + 8a - 2a^2 + 3 = -2a^2 + 12a + 3 = 3$

$-2a^2 + 12a = 0$

$-2a(a - 6) = 0$

$a=0$ または $a=6$ ですが、$a$ は 0 でない実数なので $a=6$ です。

(3) $a=1$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x - 2 + 3 = x^2 - 4x + 1$ です。

平方完成すると $f(x) = (x-2)^2 - 3$ となります。

これをx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ だけ平行移動すると、

$y = (x-p-2)^2 - 3 + q$ となります。

さらにx軸に関して対称移動すると、

$y = -(x-p-2)^2 + 3 - q$ となります。

これが $y = -x^2 - 6x - 8$ と一致するので、

$y = -(x^2 + 2(p+2)x + (p+2)^2) + 3 - q = -x^2 - 2(p+2)x - (p+2)^2 + 3 - q$

$-2(p+2) = -6$ より $p+2 = 3$, よって $p=1$。

$-(p+2)^2 + 3 - q = -8$ より $-(1+2)^2 + 3 - q = -8$, $-9 + 3 - q = -8$, $-6 - q = -8$, $q = 2$。

したがって、x軸方向に1、y軸方向に2だけ平行移動します。

(4) $a=-1$ のとき、$f(x) = -x^2 + 4x - 2 + 3 = -x^2 + 4x + 1$ です。

平方完成すると $f(x) = -(x-2)^2 + 5$ となります。

$k \le x \le k+2$ における $f(x)$ の最小値が -1 となるので、

$f(x) = -1$ となる $x$ を求めます。

$-(x-2)^2 + 5 = -1$, $-(x-2)^2 = -6$, $(x-2)^2 = 6$, $x-2 = \pm\sqrt{6}$, $x = 2 \pm \sqrt{6}$

$2 - \sqrt{6} \approx 2 - 2.45 = -0.45$, $2 + \sqrt{6} \approx 2 + 2.45 = 4.45$

軸は $x=2$ で、上に凸のグラフなので、$k \le x \le k+2$ の範囲に軸 $x=2$ が含まれていないとき、

最小値は区間の端のどちらかでとります。

$k+2 < 2$ すなわち $k < 0$ のとき、$f(k+2) = -1$ となればよい。

$k+2 = 2 - \sqrt{6}$ より $k = -\sqrt{6}$。

$k = -\sqrt{6} < 0$ を満たすので、$k = -\sqrt{6}$ は解の一つです。

$2 < k$ のとき、$f(k) = -1$ となればよい。

$k = 2 + \sqrt{6}$。

$2 < k = 2 + \sqrt{6}$ を満たすので、$k = 2 + \sqrt{6}$ は解の一つです。

$k \le 2 \le k+2$ のとき、$f(x)$ の最小値は区間の端点でとります。この時$f(k)=-1$ または $f(k+2)=-1$ が成り立つ必要があります.

$k=-\sqrt{6}$の時, $-\sqrt{6} \le x \le 2-\sqrt{6}$ になる. 最小値は端点$-\sqrt{6}$で-1になる.

$k=2+\sqrt{6}$の時, $2+\sqrt{6} \le x \le 4+\sqrt{6}$ になる. 最小値は端点$2+\sqrt{6}$で-1になる.

$k < 0$ かつ $f(k+2) = -1$ を満たすのは $k = -\sqrt{6}$

$k > 2$ かつ $f(k) = -1$ を満たすのは $k = 2 + \sqrt{6}$

この区間の幅は2なので、最小値-1となるkは $x = 2 - \sqrt{6}$, $x = 2+\sqrt{6}$の周りに存在し、$k$は$x$より小さいので $k=-\sqrt{6}$, $k=2+\sqrt{6}$です。

小さい順に $-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

7: ウ. 1

8: イ. 6

9: イ. -2

10: ウ. 2

11: ア. $- \sqrt{6}$

12: ア. $2+ \sqrt{6}$