線形写像 $f = L_A : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5$ を $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ で定義する。ここで、$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -3 & 6 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & -4 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ とする。 (i) $\text{Im} f$ の基底を求めよ。 (ii) $\text{Ker} f$ の基底を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f = L_A : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5$ を $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ で定義する。ここで、$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -3 & 6 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & -4 & -2 & 0 \end{bmatrix}$ とする。

(i) $\text{Im} f$ の基底を求めよ。

(ii) $\text{Ker} f$ の基底を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $\text{Im} f$ の基底を求める。

$\text{Im} f$ は行列 $A$ の列ベクトルによって張られる空間である。行列 $A$ の列ベクトルを簡約化して線形独立なベクトルを求めれば、$\text{Im} f$ の基底となる。

行列 $A$ を簡約化する。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -3 & 6 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & -4 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

3行目に1行目の3倍を加える。

4行目に1行目を加える。

5行目に1行目の-2倍を加える。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引く。

4行目に2行目を加える。

5行目に2行目の2倍を加える。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

よって、行列$A$の列ベクトルは、第1列と第3列が線形独立である。したがって、$\text{Im} f$ の基底は $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$。

(ii) $\text{Ker} f$ の基底を求める。

$\text{Ker} f$ は、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^4$ の集合である。$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}$ とすると、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ は次の連立一次方程式で表される。

$x - 2y + w = 0$

$z + w = 0$

これを解く。

$x = 2y - w$

$z = -w$

したがって、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y - w \\ y \\ -w \\ w \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、$\text{Ker} f$ の基底は $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

3. 最終的な答え

(i) $\text{Im} f$ の基底: $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix} \right\}$

(ii) $\text{Ker} f$ の基底: $\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$