与えられた4つの行列 $A$ に対して、それぞれのジョルダン標準形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列 $A$ に対して、それぞれのジョルダン標準形を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

まず、固有値を求めます。

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda)(3-\lambda) = 0$

となり、固有値は $\lambda = 2, 3$ (重複度2) です。

$\lambda = 2$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A - 2I)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

$\lambda = 3$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A - 3I)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

したがって、ジョルダン標準形は $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ となります。

(2) $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(3-\lambda)(3-\lambda) = 0$

となり、固有値は $\lambda = 3$ (重複度3) です。

$(A - 3I)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}v = 0$

より、$v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。固有空間の次元が1なので、ジョルダン細胞は一つしかありません。

$(A - 3I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$(A - 3I)^3 = 0$

したがって、ジョルダン標準形は $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ となります。

(3) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (-\lambda)(i-\lambda)(-\lambda) - (-1)(i-\lambda) = (i-\lambda)(\lambda^2 + 1) = (i-\lambda)(\lambda - i)(\lambda + i) = 0$

となり、固有値は $\lambda = i, -i$ です。$i$は重複度2です。

$\lambda = i$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A - iI)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} -i & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -i \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

$\lambda = -i$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A + iI)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} i & 0 & -1 \\ 0 & 2i & 0 \\ 1 & 0 & i \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_3 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

ジョルダン標準形は $\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix}$ となります。

(4) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

特性方程式は

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)(2-\lambda) = (2-\lambda)^3(-1-\lambda) = 0$

となり、固有値は $\lambda = 2$ (重複度3), $-1$ です。

$\lambda = 2$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A - 2I)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

$(A-2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. $(A-2I)^3 = 0$.

したがって、ジョルダン細胞は一つ。

$\lambda = -1$ に対して、固有ベクトルを求めます。

$(A + I)v = 0$ を解くと、

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}v = 0$

より、$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ が固有ベクトルです。

ジョルダン標準形は $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$