与えられた置換 $\sigma$ を互換の積に分解し、符号を求めよ。ここで、$\sigma$ は以下のように与えられています。 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 7 & 6 & 8 & 2 & 1 & 4 & 9 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma$ を互換の積に分解し、符号を求めよ。ここで、$\sigma$ は以下のように与えられています。

$\sigma = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\

7 & 6 & 8 & 2 & 1 & 4 & 9 & 3 & 5

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、$\sigma$ を巡回置換の積に分解します。

* 1 から始めると、$1 \mapsto 7 \mapsto 9 \mapsto 5 \mapsto 1$ なので、巡回置換 $(1\ 7\ 9\ 5)$ が得られます。

* 残りの数字で最小の 2 から始めると、$2 \mapsto 6 \mapsto 4 \mapsto 2$ なので、巡回置換 $(2\ 6\ 4)$ が得られます。

* 残りの数字は 3 と 8 ですが、$3 \mapsto 8 \mapsto 3$なので、巡回置換$(3\ 8)$が得られます。

よって、$\sigma = (1\ 7\ 9\ 5)(2\ 6\ 4)(3\ 8)$ と巡回置換の積として表すことができます。

次に、それぞれの巡回置換を互換の積に分解します。

一般に、長さ $k$ の巡回置換 $(a_1\ a_2\ ...\ a_k)$ は $k-1$ 個の互換の積 $(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\ ...\ (a_{k-1}\ a_k)$ で表されます。今回の場合は、以下のようになります。

$(1\ 7\ 9\ 5) = (1\ 7)(7\ 9)(9\ 5)$

$(2\ 6\ 4) = (2\ 6)(6\ 4)$

$(3\ 8) = (3\ 8)$

したがって、$\sigma$ は互換の積として以下のように表されます。

$\sigma = (1\ 7)(7\ 9)(9\ 5)(2\ 6)(6\ 4)(3\ 8)$

$\sigma$ を互換の積で表したとき、互換の個数は $3 + 2 + 1 = 6$ 個です。置換の符号は、互換の個数が偶数なら 1、奇数なら -1 です。今回は互換の個数が 6 個なので偶数であり、$\sigma$ の符号は 1 です。

3. 最終的な答え

$\sigma = (1\ 7)(7\ 9)(9\ 5)(2\ 6)(6\ 4)(3\ 8)$

$\text{sgn}(\sigma) = 1$