次の3つの2次不等式を解く問題です。 (1) $-x^2 - x \geq 0$ (2) $-x^2 + 2x + 8 < 0$ (3) $-x^2 - 6x + 7 \geq 0$

1. 問題の内容

次の3つの2次不等式を解く問題です。

(1) $-x^2 - x \geq 0$

(2) $-x^2 + 2x + 8 < 0$

(3) $-x^2 - 6x + 7 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $-x^2 - x \geq 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$x^2 + x \leq 0$

次に、左辺を因数分解します。

$x(x + 1) \leq 0$

この不等式が成り立つのは、$x$と$x+1$の符号が異なる場合です。

$x \leq 0$かつ$x+1 \geq 0$の場合、または$x \geq 0$かつ$x+1 \leq 0$の場合を考えます。

$x \leq 0$かつ$x \geq -1$の場合、$-1 \leq x \leq 0$となります。

$x \geq 0$かつ$x \leq -1$の場合、これは起こり得ません。

したがって、解は$-1 \leq x \leq 0$となります。

(2) $-x^2 + 2x + 8 < 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$x^2 - 2x - 8 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x - 4)(x + 2) > 0$

この不等式が成り立つのは、$x-4$と$x+2$の符号が同じ場合です。

$x - 4 > 0$かつ$x + 2 > 0$の場合、または$x - 4 < 0$かつ$x + 2 < 0$の場合を考えます。

$x > 4$かつ$x > -2$の場合、$x > 4$となります。

$x < 4$かつ$x < -2$の場合、$x < -2$となります。

したがって、解は$x < -2$または$x > 4$となります。

(3) $-x^2 - 6x + 7 \geq 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$x^2 + 6x - 7 \leq 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x + 7)(x - 1) \leq 0$

この不等式が成り立つのは、$x+7$と$x-1$の符号が異なる場合です。

$x + 7 \geq 0$かつ$x - 1 \leq 0$の場合、または$x + 7 \leq 0$かつ$x - 1 \geq 0$の場合を考えます。

$x \geq -7$かつ$x \leq 1$の場合、$-7 \leq x \leq 1$となります。

$x \leq -7$かつ$x \geq 1$の場合、これは起こり得ません。

したがって、解は$-7 \leq x \leq 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq x \leq 0$

(2) $x < -2$ または $x > 4$

(3) $-7 \leq x \leq 1$