問題は、以下の通りです。 1. 次の2次関数のグラフの頂点の座標を求めなさい。 (1) $y=x^2+5x$ (2) $y=3x^2+4x$ (3) $y=-3x^2-3x$ (4) $y=-x^2-2x+1$ (5) $y=2x^2+4x$

1. 問題の内容

問題は、以下の通りです。

1. 次の2次関数のグラフの頂点の座標を求めなさい。

(1) $y=x^2+5x$

(2) $y=3x^2+4x$

(3) $y=-3x^2-3x$

(4) $y=-x^2-2x+1$

(5) $y=2x^2+4x$

2. 次の2次関数の最大値を求めなさい。

(1) $y = -x^2 + 4x + 1$

(2) $y=2x^2+6x-1$ (ただし、$0 \le x \le 2$)

3. 2次関数 $y = -2x^2 + 8x + c$ ($-1 \le x \le 3$) の最大値が10となる $c$ の値を求めなさい。

4. ラーメン屋を経営するとして、店の利潤が最大になるようにラーメンの価格 $p$ を決めたい。ラーメンの需要は1日あたり $D(p) = 800 - p$ 杯 (ただし、$0 \le p \le 800$) であり、ラーメンを一杯作る費用は人件費などを含めて400円であるとする。このとき以下の問いに答えなさい。

(1) ラーメン屋の利潤 $\pi$ を求めなさい。利潤 $\pi$ は収入から総費用を引いたものである。

(2) 利潤を最大にするためのラーメンの価格 $p$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

1. (1) $y = x^2 + 5x = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$. よって、頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{25}{4})$.

(2) $y = 3x^2 + 4x = 3(x^2 + \frac{4}{3}x) = 3(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3}$. よって、頂点は $(-\frac{2}{3}, -\frac{4}{3})$.

(3) $y = -3x^2 - 3x = -3(x^2 + x) = -3(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$. よって、頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$.

(4) $y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x + 1)^2 + 2$. よって、頂点は $(-1, 2)$.

(5) $y = 2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x) = 2(x + 1)^2 - 2$. よって、頂点は $(-1, -2)$.

2. (1) $y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x - 2)^2 + 5$. よって、最大値は

5. (2) $y = 2x^2 + 6x - 1 = 2(x^2 + 3x) - 1 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 1 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{2}$.

頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{11}{2})$ であるが、定義域 $0 \le x \le 2$ の範囲では、頂点は範囲外。

$x=0$ のとき $y = -1$. $x=2$ のとき $y = 2(4) + 6(2) - 1 = 8 + 12 - 1 = 19$. よって、最大値は

1

9.

3. $y = -2x^2 + 8x + c = -2(x^2 - 4x) + c = -2(x - 2)^2 + 8 + c$.

頂点は $(2, 8 + c)$ であり、$-1 \le x \le 3$ の範囲に $x=2$ が含まれているため、$x=2$ で最大値をとる。

よって、$8 + c = 10$ より、$c = 2$.

4. (1) 収入は $p \times D(p) = p(800 - p) = 800p - p^2$. 総費用は $400 \times D(p) = 400(800 - p) = 320000 - 400p$.

利潤 $\pi$ は $\pi = (800p - p^2) - (320000 - 400p) = -p^2 + 1200p - 320000$.

(2) $\pi = -p^2 + 1200p - 320000 = -(p^2 - 1200p) - 320000 = -(p - 600)^2 + 360000 - 320000 = -(p - 600)^2 + 40000$.

$0 \le p \le 800$ なので、$p = 600$ で利潤は最大となり、最大値は

4

0

0

0

0.

3. 最終的な答え

1. (1) $(-\frac{5}{2}, -\frac{25}{4})$

(2) $(-\frac{2}{3}, -\frac{4}{3})$

(3) $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

(4) $(-1, 2)$

(5) $(-1, -2)$

2. (1) 5

(2) 19

3. $c = 2$

4. (1) $\pi = -p^2 + 1200p - 320000$

(2) $p = 600$