与えられた2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の標準形を求め、グラフの軸と頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の標準形を求め、グラフの軸と頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を標準形に変換する。標準形は $y = a(x - p)^2 + q$ の形であり、ここで $(p, q)$ が頂点の座標、 $x = p$ が軸の方程式である。

まず、$x^2$ の係数 $a$ で $ax^2 + bx$ の部分をくくり出す。

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

次に、括弧の中を平方完成させる。$x$ の係数の半分 $\frac{b}{2a}$ を2乗した $(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ を括弧の中に加え、同時に引く。

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

括弧を外し、整理する。

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

したがって、標準形は $y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$ である。

頂点の座標は $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$ であり、軸の方程式は $x = -\frac{b}{2a}$ である。

3. 最終的な答え

標準形：$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

軸の方程式：$x = -\frac{b}{2a}$

頂点の座標：$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$