与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ の余因子行列と逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ の余因子行列と逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列を求める。

まず、各要素の余因子を計算する。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1*5 - (-1)*1 = 5 + 1 = 6$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -(1*5 - (-1)*4) = -(5 + 4) = -9$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1*1 - 1*4 = 1 - 4 = -3$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -(2*5 - 3*1) = -(10 - 3) = -7$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1*5 - 3*4 = 5 - 12 = -7$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(1*1 - 2*4) = -(1 - 8) = 7$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2*(-1) - 3*1 = -2 - 3 = -5$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1*(-1) - 3*1) = -(-1 - 3) = 4$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1*1 - 2*1 = 1 - 2 = -1$

余因子行列は

$C = \begin{bmatrix} 6 & -9 & -3 \\ -7 & -7 & 7 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}$

(2) 余因子行列の転置行列（adjugate行列）を求める。

$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 6 & -7 & -5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{bmatrix}$

(3) 行列式を求める。

$\det(A) = 1 * C_{11} + 2 * C_{12} + 3 * C_{13} = 1 * 6 + 2 * (-9) + 3 * (-3) = 6 - 18 - 9 = -21$

(4) 逆行列を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{-21} \begin{bmatrix} 6 & -7 & -5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6/21 & 7/21 & 5/21 \\ 9/21 & 7/21 & -4/21 \\ 3/21 & -7/21 & 1/21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/7 & 1/3 & 5/21 \\ 3/7 & 1/3 & -4/21 \\ 1/7 & -1/3 & 1/21 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

余因子行列: $\begin{bmatrix} 6 & -9 & -3 \\ -7 & -7 & 7 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}$

逆行列: $\begin{bmatrix} -2/7 & 1/3 & 5/21 \\ 3/7 & 1/3 & -4/21 \\ 1/7 & -1/3 & 1/21 \end{bmatrix}$