与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。ここでは、3つの問題があります。 (1) $(x - 1)(bx^2 + x + c) = x^3 + ax - 2$ (2) $a(x + 1)(x + 2) + bx(x + 1) + cx(x + 2) = x + 6$ (3) $a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = 4x^2 + 9x + 7$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。ここでは、3つの問題があります。

(1) $(x - 1)(bx^2 + x + c) = x^3 + ax - 2$

(2) $a(x + 1)(x + 2) + bx(x + 1) + cx(x + 2) = x + 6$

(3) $a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = 4x^2 + 9x + 7$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開します。

$(x - 1)(bx^2 + x + c) = bx^3 + x^2 + cx - bx^2 - x - c = bx^3 + (1 - b)x^2 + (c - 1)x - c$

これが $x^3 + ax - 2$ と恒等式になるので、各項の係数を比較します。

$x^3$ の係数: $b = 1$

$x^2$ の係数: $1 - b = 0$

$x$ の係数: $c - 1 = a$

定数項: $-c = -2$

したがって、$b = 1$, $c = 2$, $a = c - 1 = 2 - 1 = 1$。

(2)

左辺を展開します。

$a(x^2 + 3x + 2) + b(x^2 + x) + c(x^2 + 2x) = ax^2 + 3ax + 2a + bx^2 + bx + cx^2 + 2cx = (a + b + c)x^2 + (3a + b + 2c)x + 2a$

これが $x + 6$ と恒等式になるので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a + b + c = 0$

$x$ の係数: $3a + b + 2c = 1$

定数項: $2a = 6$

したがって、$a = 3$. これを上の二つの式に代入すると、

$3 + b + c = 0$, つまり $b + c = -3$

$9 + b + 2c = 1$, つまり $b + 2c = -8$

下の式から上の式を引くと、$c = -5$.

$b + c = -3$ に代入すると、$b = -3 - c = -3 - (-5) = 2$

したがって、$a = 3, b = 2, c = -5$.

(3)

左辺を展開します。

$a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)$

これが $4x^2 + 9x + 7$ と恒等式になるので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a = 4$

$x$ の係数: $2a + b = 9$

定数項: $a + b + c = 7$

したがって、$a = 4$. これを $2a + b = 9$ に代入すると、$8 + b = 9$, つまり $b = 1$.

$a + b + c = 7$ に代入すると、$4 + 1 + c = 7$, つまり $c = 2$.

したがって、$a = 4, b = 1, c = 2$.

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 1, c = 2$

(2) $a = 3, b = 2, c = -5$

(3) $a = 4, b = 1, c = 2$