画像には、以下の6つの数学の問題が記載されています。 1. 次の2次方程式の解を求めなさい。 (1) $3x^2 + x - 2 = 0$ (2) $2x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$ (3) $6x^2 - x - 2 = 0$ (4) $x^2 + \sqrt{3}x - 2 = 0$

はい、承知しました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、以下の6つの数学の問題が記載されています。

1. 次の2次方程式の解を求めなさい。

(1) $3x^2 + x - 2 = 0$

(2) $2x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$

(3) $6x^2 - x - 2 = 0$

(4) $x^2 + \sqrt{3}x - 2 = 0$

2. 2次方程式 $2x^2 - x + m = 0$ の判別式を求め、2次方程式の解が2個存在するための $m$ の条件を求めなさい。

3. 2次関数 $y = 4x^2 - 4x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求め、そのときの共有点の座標を求めなさい。

4. 2次関数 $x^2 + mx + 4 = 0$ がただ1つの実数解を持つように実数 $m$ の値を定めなさい。またそのときの解の値を求めなさい。

5. $y = x^2 - 6x + 3$ と $y = -3x + 1$ のグラフの共有点の座標を求めなさい。

6. $y = x^2$ と $y = x + k$ のグラフが接するとき $k$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. (1) $3x^2 + x - 2 = 0$

因数分解: $(3x - 2)(x + 1) = 0$

解: $x = \frac{2}{3}, -1$

(2) $2x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 16}}{4} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-14}}{4} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{14}}{4}$

(3) $6x^2 - x - 2 = 0$

因数分解: $(2x + 1)(3x - 2) = 0$

解: $x = -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

(4) $x^2 + \sqrt{3}x - 2 = 0$

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 8}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{11}}{2}$

2. $2x^2 - x + m = 0$

判別式: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(m) = 1 - 8m$

解が2個存在するための条件: $D > 0$

$1 - 8m > 0$

$8m < 1$

$m < \frac{1}{8}$

3. $y = 4x^2 - 4x + 1$

$x$軸との共有点: $y = 0$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ (重解)

共有点の個数: 1個

座標: $(\frac{1}{2}, 0)$

4. $x^2 + mx + 4 = 0$

ただ1つの実数解を持つ条件: $D = 0$

$D = m^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 = 0$

$m^2 = 16$

$m = \pm 4$

$m = 4$ のとき: $x^2 + 4x + 4 = 0$ $(x + 2)^2 = 0$ $x = -2$

$m = -4$ のとき: $x^2 - 4x + 4 = 0$ $(x - 2)^2 = 0$ $x = 2$

5. $y = x^2 - 6x + 3$ と $y = -3x + 1$

連立方程式: $x^2 - 6x + 3 = -3x + 1$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

$x = 1$ のとき: $y = -3(1) + 1 = -2$

$x = 2$ のとき: $y = -3(2) + 1 = -5$

共有点の座標: $(1, -2), (2, -5)$

6. $y = x^2$ と $y = x + k$

接する条件: $x^2 = x + k$

$x^2 - x - k = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-k) = 1 + 4k = 0$

$4k = -1$

$k = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

1. (1) $x = \frac{2}{3}, -1$

(2) $x = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{14}}{4}$

(3) $x = -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

(4) $x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{11}}{2}$

2. 判別式: $D = 1 - 8m$, 条件: $m < \frac{1}{8}$

3. 共有点の個数: 1個、座標: $(\frac{1}{2}, 0)$

4. $m = \pm 4$, $m = 4$ のとき $x = -2$, $m = -4$ のとき $x = 2$

5. $(1, -2), (2, -5)$

6. $k = -\frac{1}{4}$