$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

はい、承知しました。それでは、問題31を解きます。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を $(x + \frac{1}{x})$ と $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ を使って表します。

$(x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = x^3 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})(3) - (\sqrt{5})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{5} - \sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$