与えられた数学の問題は以下の通りです。 問題28 (1): $2\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{48}}$ を計算せよ。 問題28 (2): $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ を計算せよ。 問題28 (3): $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{3+\sqrt{3}}$ を計算せよ。 問題29 (1): $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。 問題29 (2): $\sqrt{7-\sqrt{40}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の通りです。

問題28 (1): $2\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{48}}$ を計算せよ。

問題28 (2): $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ を計算せよ。

問題28 (3): $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{3+\sqrt{3}}$ を計算せよ。

問題29 (1): $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

問題29 (2): $\sqrt{7-\sqrt{40}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

問題28 (1):

まず、それぞれの項を整理します。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

したがって、

$2\sqrt{3} + \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{4\sqrt{3}}$

$= 2\sqrt{3} + \frac{4}{12\sqrt{3}} - \frac{3}{12\sqrt{3}}$

$= 2\sqrt{3} + \frac{1}{12\sqrt{3}}$

$= 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3}$

$= 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{36}$

$= \frac{72\sqrt{3} + \sqrt{3}}{36}$

$= \frac{73\sqrt{3}}{36}$

問題28 (2):

分母を払います。

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} + \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

$= \frac{\sqrt{18}+\sqrt{6}}{6-2} + \frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{6-2}$

$= \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$= \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6} + 3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$= \frac{6\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{3\sqrt{2}}{2}$

問題28 (3):

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

$\frac{1}{3+\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3-\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3-\sqrt{3}}{6}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}-1}{2} + 2-\sqrt{3} + \frac{3-\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{3(\sqrt{3}-1)}{6} + \frac{12-6\sqrt{3}}{6} + \frac{3-\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{3\sqrt{3}-3+12-6\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{12-4\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{6-2\sqrt{3}}{3}$

問題29 (1):

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{6+2\sqrt{8}}$

$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ を用います。

$a+b=6, ab=8$ となる $a,b$ を見つける。 $a=4, b=2$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{2} = 2+\sqrt{2}$

問題29 (2):

$\sqrt{7-\sqrt{40}} = \sqrt{7-2\sqrt{10}}$

$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ を用います。 ただし $a>b$.

$a+b=7, ab=10$ となる $a,b$ を見つける。 $a=5, b=2$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{7-\sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

問題28 (1): $\frac{73\sqrt{3}}{36}$

問題28 (2): $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

問題28 (3): $\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$

問題29 (1): $2+\sqrt{2}$

問題29 (2): $\sqrt{5} - \sqrt{2}$