与えられた複数の2次関数に関する問題を解きます。具体的には、グラフが通る点の座標、グラフの平行移動、頂点の座標、条件を満たす2次関数の式などを求めます。

1. 問題の内容

与えられた複数の2次関数に関する問題を解きます。具体的には、グラフが通る点の座標、グラフの平行移動、頂点の座標、条件を満たす2次関数の式などを求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $y = 3x^2 - 2x + 2$のグラフが通る点の座標を一つ求めるには、適当な$x$の値を代入して、$y$の値を計算します。例えば、$x=0$とすると、$y = 3(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$となります。したがって、$(0, 2)$はグラフが通る点の1つです。

(2) $y = 3(x+1)^2 - 1$に関する表を作るのは省略します。

(3) $y = x^2$のグラフを$x$方向に$1$、$y$方向に$-1$だけ平行移動させると、$y+1 = (x-1)^2$となり、$y = (x-1)^2 - 1$となります。平行移動されたグラフの頂点は$(1, -1)$です。

(4) $y = 2(x-2)^2 - 6$を$y = 2(x+1)^2 - 1$にするには、$x$方向に$-3$、$y$方向に$5$だけ平行移動します。なぜなら、頂点$(2, -6)$を頂点$(-1, -1)$に移すには、$x$座標を$2-(-1) = 3$だけ左に（つまり$-3$）、$y$座標を$-6-(-1) = -5$だけ上に（つまり$5$）移動する必要があるからです。

問題2:

(1) 頂点の座標が$(3, 0)$となる上に凸の2次関数のグラフの式は、$y = -a(x-3)^2$ (ただし、$a > 0$) と表されます。例えば、$y = -(x-3)^2$です。

(2) 頂点の座標が$(1, 2)$となる下に凸の2次関数のグラフの式は、$y = a(x-1)^2 + 2$ (ただし、$a > 0$) と表されます。例えば、$y = (x-1)^2 + 2$です。

問題3:

(1) $y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 3$の頂点は$(1, 3)$です。

(2) $y = 3x^2 - 2$の頂点は$(0, -2)$です。

(3) $y = -2(x+2)^2$の頂点は$(-2, 0)$です。

問題4:

(1) 頂点が$(1, 2)$なので、$y = a(x-1)^2 + 2$と表されます。点$(3, 1)$を通るので、$1 = a(3-1)^2 + 2$となり、$1 = 4a + 2$から$4a = -1$、$a = -\frac{1}{4}$となります。したがって、$y = -\frac{1}{4}(x-1)^2 + 2$です。

(2) 軸が$x = -1$なので、$y = a(x+1)^2 + q$と表されます。点$(1, -2)$と$(3, 10)$を通るので、

$-2 = a(1+1)^2 + q$

$10 = a(3+1)^2 + q$

すなわち、

$-2 = 4a + q$

$10 = 16a + q$

この連立方程式を解きます。$10 - (-2) = 16a - 4a$より、$12 = 12a$、$a = 1$となります。すると、$-2 = 4(1) + q$より、$q = -6$となります。したがって、$y = (x+1)^2 - 6$です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $(0, 2)$ (例)

(3) $y = (x-1)^2 - 1$, 頂点$(1, -1)$

(4) $x$方向に$-3$、$y$方向に$5$

問題2:

(1) $y = -(x-3)^2$ (例)

(2) $y = (x-1)^2 + 2$ (例)

問題3:

(1) $(1, 3)$

(2) $(0, -2)$

(3) $(-2, 0)$

問題4:

(1) $y = -\frac{1}{4}(x-1)^2 + 2$

(2) $y = (x+1)^2 - 6$