方程式 $x^4 - 5x + 2 = 0$ が、区間 $(-1, 1)$ に少なくとも1つの実数解を持つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^4 - 5x + 2 = 0$ が、区間 $(-1, 1)$ に少なくとも1つの実数解を持つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用して証明します。

まず、$f(x) = x^4 - 5x + 2$ と定義します。$f(x)$ は多項式なので、すべての実数 $x$ に対して連続です。

次に、$f(-1)$ と $f(1)$ の値を計算します。

$f(-1) = (-1)^4 - 5(-1) + 2 = 1 + 5 + 2 = 8$

$f(1) = (1)^4 - 5(1) + 2 = 1 - 5 + 2 = -2$

$f(-1) = 8 > 0$ であり、$f(1) = -2 < 0$ であることがわかります。

したがって、$f(-1)$ と $f(1)$ は異符号です。

中間値の定理より、$f(-1)$ と $f(1)$ が異符号であることから、区間 $(-1, 1)$ の間に、$f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在します。

3. 最終的な答え

中間値の定理より、方程式 $x^4 - 5x + 2 = 0$ は、区間 $(-1, 1)$ に少なくとも1つの実数解を持つ。