$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = 3-2\sqrt{2}$

次に、$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

$xy = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

(1) $x^2 + y^2$ の値を求める。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

(2) $x^3 + y^3$ の値を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 6^3 - 3(1)(6) = 216 - 18 = 198$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 34$

(2) $x^3 + y^3 = 198$