与えられた4つの2次不等式を解く問題です。 (1) $(x+2)(x-6) > 0$ (2) $x^2 - 5x \le 0$ (3) $x^2 - 4x + 3 < 0$ (4) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解く問題です。

(1) $(x+2)(x-6) > 0$

(2) $x^2 - 5x \le 0$

(3) $x^2 - 4x + 3 < 0$

(4) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)(x-6) > 0$

$x+2 = 0$ と $x-6 = 0$ を解くと、$x = -2$ と $x = 6$ となる。

$x<-2$ のとき $(x+2) < 0$ かつ $(x-6) < 0$ なので $(x+2)(x-6)>0$

$-2 < x < 6$ のとき $(x+2) > 0$ かつ $(x-6) < 0$ なので $(x+2)(x-6)<0$

$x > 6$ のとき $(x+2) > 0$ かつ $(x-6) > 0$ なので $(x+2)(x-6)>0$

よって、$x < -2$ または $x > 6$

(2) $x^2 - 5x \le 0$

$x(x-5) \le 0$

$x = 0$ と $x = 5$ を解とする。

$x < 0$ のとき $x < 0$ かつ $x-5 < 0$ なので $x(x-5) > 0$

$0 < x < 5$ のとき $x > 0$ かつ $x-5 < 0$ なので $x(x-5) < 0$

$x > 5$ のとき $x > 0$ かつ $x-5 > 0$ なので $x(x-5) > 0$

$x=0$と$x=5$のとき$x(x-5)=0$

よって、$0 \le x \le 5$

(3) $x^2 - 4x + 3 < 0$

$(x-1)(x-3) < 0$

$x-1 = 0$ と $x-3 = 0$ を解くと、$x = 1$ と $x = 3$ となる。

$x<1$ のとき $(x-1) < 0$ かつ $(x-3) < 0$ なので $(x-1)(x-3)>0$

$1 < x < 3$ のとき $(x-1) > 0$ かつ $(x-3) < 0$ なので $(x-1)(x-3)<0$

$x > 3$ のとき $(x-1) > 0$ かつ $(x-3) > 0$ なので $(x-1)(x-3)>0$

よって、$1 < x < 3$

(4) $x^2 - 2x - 8 \ge 0$

$(x-4)(x+2) \ge 0$

$x-4 = 0$ と $x+2 = 0$ を解くと、$x = 4$ と $x = -2$ となる。

$x<-2$ のとき $(x-4) < 0$ かつ $(x+2) < 0$ なので $(x-4)(x+2)>0$

$-2 < x < 4$ のとき $(x-4) < 0$ かつ $(x+2) > 0$ なので $(x-4)(x+2)<0$

$x > 4$ のとき $(x-4) > 0$ かつ $(x+2) > 0$ なので $(x-4)(x+2)>0$

$x=-2$と$x=4$のとき$(x-4)(x+2)=0$

よって、$x \le -2$ または $x \ge 4$

3. 最終的な答え

(1) $x < -2$ または $x > 6$

(2) $0 \le x \le 5$

(3) $1 < x < 3$

(4) $x \le -2$ または $x \ge 4$