与えられた等式 $\frac{3x+2}{x(x+1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式

$\frac{3x+2}{x(x+1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$

が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺に $x(x+1)^2$ をかけます。

$3x+2 = a(x+1)^2 + b(x)(x+1) + c(x)$

次に、右辺を展開します。

$3x+2 = a(x^2+2x+1) + b(x^2+x) + cx$

$3x+2 = ax^2+2ax+a + bx^2+bx + cx$

$3x+2 = (a+b)x^2 + (2a+b+c)x + a$

この式が $x$ についての恒等式であるためには、両辺の各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b = 0$

$2a+b+c = 3$

$a = 2$

$a=2$ を最初の式に代入すると、

$2+b=0$

$b = -2$

$a=2$ と $b=-2$ を二番目の式に代入すると、

$2(2) + (-2) + c = 3$

$4-2+c = 3$

$2+c=3$

$c = 1$

3. 最終的な答え

したがって、$a=2$, $b=-2$, $c=1$ が答えです。

$a = 2$

$b = -2$

$c = 1$