$(\sqrt{3} + i)^6$ をド・モアブルの公式を用いて計算する。

1. 問題の内容

$(\sqrt{3} + i)^6$ をド・モアブルの公式を用いて計算する。

2. 解き方の手順

複素数 $\sqrt{3} + i$ を極形式で表す。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}$

したがって、$\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ となる。

ド・モアブルの公式より、

$(\sqrt{3} + i)^6 = [2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})]^6 = 2^6 (\cos\frac{6\pi}{6} + i\sin\frac{6\pi}{6}) = 64(\cos\pi + i\sin\pi)$

$\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$ であるから、

$(\sqrt{3} + i)^6 = 64(-1 + i \cdot 0) = -64$

3. 最終的な答え

-64