2次関数 $y = 2x^2 + ax + b$ のグラフを、原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したところ、2次関数 $y = -2x^2 + 5x + 6$ のグラフになった。$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + ax + b$ のグラフを、原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したところ、2次関数 $y = -2x^2 + 5x + 6$ のグラフになった。$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = 2x^2 + ax + b$ のグラフを原点に関して対称移動する。原点に関して対称移動すると、$(x, y)$ が $(-x, -y)$ に移るので、

$-y = 2(-x)^2 + a(-x) + b$

$-y = 2x^2 - ax + b$

$y = -2x^2 + ax - b$

次に、このグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動する。$x$ 軸方向に $3$ 移動するとき、 $x$ を $x - 3$ に置き換え、$y$ 軸方向に $1$ 移動するとき、$y$ を $y - 1$ に置き換えるので、

$y - 1 = -2(x - 3)^2 + a(x - 3) - b$

$y - 1 = -2(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b$

$y - 1 = -2x^2 + 12x - 18 + ax - 3a - b$

$y = -2x^2 + (12 + a)x - 18 - 3a - b + 1$

$y = -2x^2 + (12 + a)x - 17 - 3a - b$

これが、$y = -2x^2 + 5x + 6$ と一致するので、各係数を比較すると、

$12 + a = 5$

$-17 - 3a - b = 6$

上の式より、$a = 5 - 12 = -7$

下の式に $a = -7$ を代入すると、

$-17 - 3(-7) - b = 6$

$-17 + 21 - b = 6$

$4 - b = 6$

$b = 4 - 6 = -2$

3. 最終的な答え

$a = -7$, $b = -2$