与えられた置換の積を計算したり、置換を巡回置換や互換の積に分解したり、置換の符号を求めたりする問題です。また、多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma$ に対して $\sigma f(x_1, \dots, x_n)$ を求めたり、$n$ 変数の差積 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ に関する性質を証明したりする問題も含まれています。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算したり、置換を巡回置換や互換の積に分解したり、置換の符号を求めたりする問題です。また、多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma$ に対して $\sigma f(x_1, \dots, x_n)$ を求めたり、$n$ 変数の差積 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ に関する性質を証明したりする問題も含まれています。

2. 解き方の手順

写真の問題3.1の(1)から(5)の問題を解説します。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

置換の積は、右側の置換を先に行い、その結果に対して左側の置換を行います。例えば、(1)では、右側の置換で1が3に写り、左側の置換で3が2に写るので、積の置換では1が2に写ります。同様に、2は1に、3は3に写るので、積の置換は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$となります。

(3)

$(13)(23)(24)$は、まず(24)で2が4に写り、(23)で4は変化せず、(13)で4も変化しないので、積の置換では2が4に写ります。同様に、

1は3に、3は2に、4は2に写り3に写るので、

$(13)(23)(24) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

となります。

(4)

$(14)(23)(1243)(23)$は、

$(14)(23)(1243)(23) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

問題3.1の解答は以下の通りです。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$