線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^5$ が $f(v) = Av$ で定義される。ここで、行列 $A$ は $$ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -3 & 6 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & -4 & -2 & 0 \end{bmatrix} $$ である。 (i) $Im f$ の基底を求めよ。 (ii) $Ker f$ の基底を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^5$ が $f(v) = Av$ で定義される。ここで、行列 $A$ は

$$$$

A = \begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

-3 & 6 & 2 & -1 \\

-1 & 2 & -1 & -2 \\

2 & -4 & -2 & 0

\end{bmatrix}

$$$$

である。

(i) $Im f$ の基底を求めよ。

(ii) $Ker f$ の基底を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $Im f$ の基底を求める。

$Im f$ は行列 $A$ の列ベクトルによって張られる空間である。したがって、$A$ の列ベクトルの中から線形独立なものを見つければよい。$A$ を簡約化して、線形独立な列を見つける。

$$$$

A = \begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

-3 & 6 & 2 & -1 \\

-1 & 2 & -1 & -2 \\

2 & -4 & -2 & 0

\end{bmatrix}

$$$$

まず、3行目に1行目の3倍を足し、4行目に1行目を足し、5行目から1行目の2倍を引く。

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 2 & 2 \\

0 & 0 & -1 & -1 \\

0 & 0 & -2 & -2

\end{bmatrix}

$$$$

次に、3行目から2行目の2倍を引き、4行目に2行目を足し、5行目に2行目の2倍を足す。

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$$$

この行列の1列目と3列目は線形独立である。したがって、$Im f$ の基底は $A$ の1列目と3列目に対応するベクトル

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\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}

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である。

(ii) $Ker f$ の基底を求める。

$Ker f = \{v \in \mathbb{R}^4 | Av = 0\}$ である。したがって、$Av = 0$ を満たす $v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}$ を求める。簡約化された行列から次の連立方程式が得られる。

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x - 2y + w = 0 \\

z + w = 0

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したがって、$x = 2y - w$、$z = -w$ となる。ここで、$y$ と $w$ は自由変数である。よって、$v$ は次のように書ける。

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v = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y - w \\ y \\ -w \\ w \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

$$$$

したがって、$Ker f$ の基底は

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\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

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である。

3. 最終的な答え

(i) $Im f$ の基底：

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\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}

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(ii) $Ker f$ の基底：

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\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

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