(i) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題。 (ii) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題。

1. 問題の内容

(i) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題。

(ii) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する問題。

2. 解き方の手順

(i) 部分空間であるための条件は以下の3つです。

1. ゼロベクトルを含むこと。

2. スカラー倍について閉じていること。

3. ベクトルの和について閉じていること。

まず、ゼロベクトルを含むか確認します。

$x=y=z=0$ を代入すると、$\begin{bmatrix} 0+0 \\ 0^2 \\ 2(0)+3(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となり、ゼロベクトルを含むことがわかります。

次に、スカラー倍について閉じているか確認します。

任意のベクトル $v = \begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ とスカラー $c$ に対して、$cv$ が同じ集合に属する必要があります。

$cv = \begin{bmatrix} c(x+y) \\ cx^2 \\ c(2z+3y) \end{bmatrix}$ となります。

これが $\begin{bmatrix} x'+y' \\ x'^2 \\ 2z'+3y' \end{bmatrix}$ の形になるためには、

$x'^2 = cx^2$ が必要です。

もし $x=1$ で $c=2$ ならば、$x'^2 = 2$ となり、$x' = \sqrt{2}$ となります。

つまり、スカラー倍について閉じているとは限りません。

例えば $x=1, y=0, z=0$ の場合、ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ となります。このベクトルの2倍は $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ となります。しかし、$\begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ の形にしようとすると、$x+y=2$ かつ $x^2=2$ となります。$x = \sqrt{2}$ とすると、$y = 2-\sqrt{2}$ となります。また $2z+3y = 0$ より、$2z = -3(2-\sqrt{2}) = -6+3\sqrt{2}$ となり、$z = -3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$ となります。

したがって、このベクトルは集合の中にあると言えます。

しかし、$x^2$ の項があるため、一般的にスカラー倍で閉じているとは限りません。$x$ の値を変化させると、$cv$ の形にならないことがあります。

したがって、(i) は部分空間ではありません。

(ii) 部分空間であるための条件は以下の3つです。

1. ゼロベクトルを含むこと。

2. スカラー倍について閉じていること。

3. ベクトルの和について閉じていること。

まず、ゼロベクトルを含むか確認します。

$x=y=z=0$ を代入すると、$\begin{bmatrix} 0+2(0) \\ 0-3(0)+0 \\ 2(0)-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となり、ゼロベクトルを含むことがわかります。

次に、スカラー倍について閉じているか確認します。

任意のベクトル $v = \begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix}$ とスカラー $c$ に対して、$cv$ が同じ集合に属する必要があります。

$cv = \begin{bmatrix} c(x+2y) \\ c(x-3y+z) \\ c(2z-y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx+2(cy) \\ cx-3(cy)+cz \\ 2(cz)-(cy) \end{bmatrix}$ となります。

これは $x'=cx, y'=cy, z'=cz$ とおけば、$\begin{bmatrix} x'+2y' \\ x'-3y'+z' \\ 2z'-y' \end{bmatrix}$ となり、同じ形です。

したがって、スカラー倍について閉じています。

最後に、ベクトルの和について閉じているか確認します。

$v_1 = \begin{bmatrix} x_1+2y_1 \\ x_1-3y_1+z_1 \\ 2z_1-y_1 \end{bmatrix}$ と $v_2 = \begin{bmatrix} x_2+2y_2 \\ x_2-3y_2+z_2 \\ 2z_2-y_2 \end{bmatrix}$ に対して、$v_1 + v_2$ が同じ集合に属する必要があります。

$v_1 + v_2 = \begin{bmatrix} (x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \\ (x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+(z_1+z_2) \\ 2(z_1+z_2)-(y_1+y_2) \end{bmatrix}$ となります。

これは $x'=x_1+x_2, y'=y_1+y_2, z'=z_1+z_2$ とおけば、$\begin{bmatrix} x'+2y' \\ x'-3y'+z' \\ 2z'-y' \end{bmatrix}$ となり、同じ形です。

したがって、ベクトルの和について閉じています。

以上の3つの条件を満たすので、(ii) は部分空間です。

3. 最終的な答え

(i) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ は $R^3$ の部分空間ではない。

(ii) $R^3$ の部分集合 $\left\{ \begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \right\}$ は $R^3$ の部分空間である。