与えられた式 $x^2 - (y-5)x - 2y(y+5)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (y-5)x - 2y(y+5)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$x^2 - (y-5)x - 2y(y+5) = x^2 - xy + 5x - 2y^2 - 10y$

次に、因数分解しやすいように式を整理します。今回は、$x$ についての二次式と見て、因数分解を試みます。

$x^2 + (-y+5)x - (2y^2 + 10y)$

定数項を因数分解します。

$2y^2 + 10y = 2y(y+5)$

ここで、掛けて $-(2y^2+10y)$、足して $-y+5$ となるような二つの式を探します。

$2y^2 + 10y = 2y(y+5)$ より、$2y$ と $y+5$ を使って、 $-y+5$ を作ることを考えます。

$(x + 2y)(x - (y+5)) = x^2 - (y+5)x + 2yx - 2y(y+5) = x^2 + (2y - y - 5)x - 2y(y+5) = x^2 + (y - 5)x - 2y(y+5)$

これは元の式と符号が異なるので、符号を変えてみます。

$(x - 2y)(x + (y+5)) = x^2 + (y+5)x - 2yx - 2y(y+5) = x^2 + (y+5 - 2y)x - 2y(y+5) = x^2 + (-y+5)x - 2y(y+5)$

$= x^2 - (y-5)x - 2y(y+5)$

これは元の式と一致します。

よって、$x^2 - (y-5)x - 2y(y+5) = (x - 2y)(x + y + 5)$

3. 最終的な答え

$(x - 2y)(x + y + 5)$