次の2つの問題を解きます。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \leq \pi$とします。 (1) $\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。 (2) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。

1. 問題の内容

次の2つの問題を解きます。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \leq \pi$とします。

(1) $\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha)$ の形に変形します。

$r\cos\alpha = 1$

$r\sin\alpha = -1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = 1^2 + (-1)^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 2$

$r^2 = 2$

$r = \sqrt{2}$ ($r > 0$より)

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(2)

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha)$ の形に変形します。

$r\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r\sin\alpha = \frac{1}{2}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$r^2 = 1$

$r = 1$ ($r > 0$より)

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

よって、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(2) $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$