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関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ について、$m \le x \le m+2$ の範囲における最小値を $g$ とする。 (1) $g$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

代数学二次関数最大・最小場合分け平方完成
2025/7/23
はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

関数 f(x)=x2+3x+mf(x) = x^2 + 3x + m について、m≤x≤m+2m \le x \le m+2 の範囲における最小値を gg とする。
(1) gg を mm を用いて表せ。
(2) mm がすべての実数を変化するとき、gg の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値 gg を mm で表す。
まず、関数 f(x)f(x) を平方完成する。
f(x)=x2+3x+m=(x+32)2−94+mf(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m
軸は x=−32x = -\frac{3}{2} である。区間 m≤x≤m+2m \le x \le m+2 の位置関係によって場合分けを行う。
(i) m+2<−32m + 2 < -\frac{3}{2} つまり m<−72m < -\frac{7}{2} のとき、区間 m≤x≤m+2m \le x \le m+2 で f(x)f(x) は単調減少である。よって、最小値は f(m+2)f(m+2) となる。
g=f(m+2)=(m+2)2+3(m+2)+m=m2+4m+4+3m+6+m=m2+8m+10g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10
(ii) m≤−32≤m+2m \le -\frac{3}{2} \le m+2 つまり −72≤m≤−32-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2} のとき、軸 x=−32x = -\frac{3}{2} が区間 m≤x≤m+2m \le x \le m+2 に含まれるので、最小値は f(−32)f(-\frac{3}{2}) となる。
g=f(−32)=(−32)2+3(−32)+m=94−92+m=−94+mg = f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + m = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + m = -\frac{9}{4} + m
(iii) −32<m-\frac{3}{2} < m のとき、区間 m≤x≤m+2m \le x \le m+2 で f(x)f(x) は単調増加である。よって、最小値は f(m)f(m) となる。
g=f(m)=m2+3m+m=m2+4mg = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m
以上より、
g={m2+8m+10(m<−72)−94+m(−72≤m≤−32)m2+4m(−32<m)g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (-\frac{3}{2} < m) \end{cases}
(2) gg の最小値を求める。
(i) m<−72m < -\frac{7}{2} のとき、
g=m2+8m+10=(m+4)2−6g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6
m<−72m < -\frac{7}{2} であるから、m=−72m = -\frac{7}{2} のとき、g=(−72+4)2−6=14−6=−234g = (-\frac{7}{2} + 4)^2 - 6 = \frac{1}{4} - 6 = -\frac{23}{4}
(ii) −72≤m≤−32-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2} のとき、
g=−94+mg = -\frac{9}{4} + m
この区間において、gg は単調増加なので、m=−72m = -\frac{7}{2} のとき最小値をとる。
g=−94−72=−94−144=−234g = -\frac{9}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4}
m=−32m = -\frac{3}{2} のとき、g=−94−32=−94−64=−154g = -\frac{9}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{15}{4}
(iii) −32<m-\frac{3}{2} < m のとき、
g=m2+4m=(m+2)2−4g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4
m=−32m = -\frac{3}{2} のとき、g=(−32+2)2−4=14−4=−154g = (-\frac{3}{2} + 2)^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}
軸は m=−2m = -2 で、−32<m-\frac{3}{2} < m の範囲にあるため、m=−2m = -2 のときに最小値 −4-4 をとる。
したがって、 gg の最小値は −4-4 である。

3. 最終的な答え

(1)
g={m2+8m+10(m<−72)−94+m(−72≤m≤−32)m2+4m(−32<m)g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (-\frac{3}{2} < m) \end{cases}
(2) −4-4

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