問題は3つあります。 問題1は行列A, B, Cの逆行列を掃き出し法で求める問題です。ただし、$n$, $a$は定数です。 問題2は行列D, E, Fの行列式を計算する問題です。 問題3は行列P, Qが与えられたとき、(1) Pの逆行列の行列式を計算する問題と、(2) $P^{-1}QP$の行列式の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題1は行列A, B, Cの逆行列を掃き出し法で求める問題です。ただし、$n$, $a$は定数です。

問題2は行列D, E, Fの行列式を計算する問題です。

問題3は行列P, Qが与えられたとき、(1) Pの逆行列の行列式を計算する問題と、(2) $P^{-1}QP$の行列式の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

ここでは、行列A, B, Cの逆行列を掃き出し法で求めることは省略します。

問題2：

行列Dの行列式は以下のように計算します。

$D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$

$\det(D) = (1)(3) - (2)(-5) = 3 + 10 = 13$

行列Eの行列式は以下のように計算します。

$E = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$\det(E) = 2(1\cdot 1 - (-2)(-1)) - 1(3\cdot 1 - (-2)(1)) + 1(3(-1) - 1\cdot 1) = 2(1-2) - (3+2) + (-3-1) = -2 - 5 - 4 = -11$

行列Fの行列式は以下のように計算します。

$F = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 9 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

第4列に関して余因子展開を行うと、

$\det(F) = 5 \cdot C_{44} + (-2) \cdot C_{54}$ となる。

ただし、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分に関する余因子である。

$C_{44}$は、1行1列、2行1列、3行1列を除いた行列の行列式。

$C_{44} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(-2\cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 0 - 1 \cdot 3) + (-1)(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) = 2(-1) - (-3) - (1+6) = -2 + 3 - 7 = -6$

$C_{54}$は、1行1列、2行1列、3行1列を除いた行列の行列式。

$C_{54} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -6$

$\det(F) = 5 \cdot (-6) - 2(-6) = -30 + 12 = -18$

問題3：

(1) 行列Pの行列式は以下のように計算します。

$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目を基準に、2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引き、4行目から1行目を引くと、

$\det(P) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

1列に関して余因子展開を行うと、

$\det(P) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0(0(-2) - (-2)(-2)) - 2(2(-2) - (-2)(0)) + 0 = -2(-4) = 8$

$\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)} = \frac{1}{8}$

(2) $P^{-1}QP$の行列式の値は、

$\det(P^{-1}QP) = \det(P^{-1}) \det(Q) \det(P) = \frac{1}{\det(P)} \det(Q) \det(P) = \det(Q)$

$Q = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を基準に余因子展開を行うと、

$\det(Q) = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} -(-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -\left( 1(0-4) - 0 + 2(1-0) \right) + \left( 2(1\cdot 4 - 1 \cdot 4) - 0 + 0 \right) = -(-4+2) + 0 = -(-2) = 2$

3. 最終的な答え

問題2：

$\det(D) = 13$

$\det(E) = -11$

$\det(F) = -18$

問題3：

(1) $\det(P^{-1}) = \frac{1}{8}$

(2) $\det(P^{-1}QP) = 2$