## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^3 - 3x^2 - x + 5 = 0$ の解が $n \le x < n+1$ を満たすような整数 $n$ をすべて求める問題です。

##

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5$ を定義します。

2. $f(x)$ のいくつかの整数値における符号を調べます。

3. 中間値の定理を利用して、解が存在する区間を特定します。

中間値の定理とは、$f(x)$が連続関数であり、$f(a)$と$f(b)$の符号が異なる場合、$a$と$b$の間に少なくとも1つの解が存在するというものです。

具体的な計算：

* $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - (-2) + 5 = -8 - 12 + 2 + 5 = -13$

* $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 5 = -1 - 3 + 1 + 5 = 2$

* $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 0 + 5 = 5$

* $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 1 + 5 = 1 - 3 - 1 + 5 = 2$

* $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 2 + 5 = 8 - 12 - 2 + 5 = -1$

* $f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 3 + 5 = 27 - 27 - 3 + 5 = 2$

* $f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 4 + 5 = 64 - 48 - 4 + 5 = 17$

中間値の定理より、

* $f(-2) < 0$ かつ $f(-1) > 0$ であるため、$-2 < x < -1$ の区間に解が存在します。したがって、$n = -2$ が条件を満たします。

* $f(1) > 0$ かつ $f(2) < 0$ であるため、$1 < x < 2$ の区間に解が存在します。したがって、$n = 1$ が条件を満たします。

* $f(2) < 0$ かつ $f(3) > 0$ であるため、$2 < x < 3$ の区間に解が存在します。したがって、$n = 2$ が条件を満たします。

$f(x)$ は 3 次多項式なので、解は最大で 3 つしかありません。上記で3つの解の存在する区間を見つけたので、これが全てです。

##

3. 最終的な答え

$n = -2, 1, 2$