与えられた2つの2次関数について、それぞれの定義域における最大値と最小値を求める。 (1) $y = x^2 - 2x - 2$, $-2 \le x \le 3$ (2) $y = (x + 1)^2 - 2$, $-3 \le x \le 2$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、それぞれの定義域における最大値と最小値を求める。

(1) $y = x^2 - 2x - 2$, $-2 \le x \le 3$

(2) $y = (x + 1)^2 - 2$, $-3 \le x \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 2$ について

* 平方完成を行い、頂点を求める。

$y = x^2 - 2x + 1 - 1 - 2 = (x - 1)^2 - 3$

頂点は $(1, -3)$ である。

* 定義域 $-2 \le x \le 3$ における関数の値を考える。

$x = 1$ (頂点) のとき、$y = -3$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6$

$x = 3$ のとき、$y = (3)^2 - 2(3) - 2 = 9 - 6 - 2 = 1$

* 最大値と最小値を決定する。

(2) $y = (x + 1)^2 - 2$ について

* この関数は平方完成された形なので、頂点は $(-1, -2)$ である。

* 定義域 $-3 \le x \le 2$ における関数の値を考える。

$x = -1$ (頂点) のとき、$y = -2$

$x = -3$ のとき、$y = (-3 + 1)^2 - 2 = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = (2 + 1)^2 - 2 = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

* 最大値と最小値を決定する。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：6 ($x = -2$ のとき)

最小値：-3 ($x = 1$ のとき)

(2)

最大値：7 ($x = 2$ のとき)

最小値：-2 ($x = -1$ のとき)