(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ 4x - 4 \geq 0 \end{cases}$ を解く。 (2) 不等式 $7x - 10 < x^2 < 2x + 3$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 8 < 0 \\ 4x - 4 \geq 0 \end{cases}$ を解く。

(2) 不等式 $7x - 10 < x^2 < 2x + 3$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 2x - 8 < 0$ を解く。

左辺を因数分解すると、$(x - 4)(x + 2) < 0$。

したがって、$-2 < x < 4$。

次に、$4x - 4 \geq 0$ を解く。

$4x \geq 4$ より、$x \geq 1$。

これら2つの不等式を満たす範囲は、$1 \leq x < 4$。

(2)

$7x - 10 < x^2 < 2x + 3$ は、次の連立不等式と同値である。

$\begin{cases} 7x - 10 < x^2 \\ x^2 < 2x + 3 \end{cases}$

一つ目の不等式、$7x - 10 < x^2$ を解く。

$x^2 - 7x + 10 > 0$

$(x - 2)(x - 5) > 0$

したがって、$x < 2$ または $x > 5$。

二つ目の不等式、$x^2 < 2x + 3$ を解く。

$x^2 - 2x - 3 < 0$

$(x - 3)(x + 1) < 0$

したがって、$-1 < x < 3$。

これら2つの不等式を満たす範囲は、$-1 < x < 2$ または $5 < x < 3$。

しかし、$5 < x < 3$ は存在しないので、 $-1 < x < 2$。

3. 最終的な答え

(1) $1 \leq x < 4$

(2) $-1 < x < 2$