長さ16cmの針金を2本に切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作ります。このとき、2つの正方形の面積の和が最小になるようにするには、針金を何cmと何cmに切ればよいかを求める問題です。

1. 問題の内容

長さ16cmの針金を2本に切り、それぞれを折り曲げて2つの正方形を作ります。このとき、2つの正方形の面積の和が最小になるようにするには、針金を何cmと何cmに切ればよいかを求める問題です。

2. 解き方の手順

針金を $x$ cmと $y$ cmに切るとします。

ただし、$x + y = 16$ です。

それぞれの長さの針金で正方形を作るので、正方形の一辺の長さはそれぞれ $\frac{x}{4}$ cmと $\frac{y}{4}$ cmになります。

それぞれの正方形の面積は $(\frac{x}{4})^2$ と $(\frac{y}{4})^2$ となります。

2つの正方形の面積の和 $S$ は、

$S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{y}{4})^2$

$x + y = 16$ より $y = 16 - x$ なので、$S$ を $x$ の関数として表すと、

$S(x) = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{16-x}{4})^2$

$= \frac{x^2}{16} + \frac{(16-x)^2}{16}$

$= \frac{x^2 + (256 - 32x + x^2)}{16}$

$= \frac{2x^2 - 32x + 256}{16}$

$= \frac{1}{8}x^2 - 2x + 16$

$S(x)$ を最小にする $x$ を求めるために、平方完成を行います。

$S(x) = \frac{1}{8}(x^2 - 16x) + 16$

$= \frac{1}{8}(x^2 - 16x + 64 - 64) + 16$

$= \frac{1}{8}(x - 8)^2 - \frac{64}{8} + 16$

$= \frac{1}{8}(x - 8)^2 - 8 + 16$

$= \frac{1}{8}(x - 8)^2 + 8$

$S(x)$ は $x = 8$ のとき最小値8をとります。

$x = 8$ のとき $y = 16 - x = 16 - 8 = 8$ となります。

3. 最終的な答え

8cmと8cm