2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の種類（異なる2つの解 $\alpha, \beta$、一つの解、なし）と、不等式 $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$ の解の関係を表にまとめる問題です。表中の①～⑤を埋める必要があります。ただし、$a > 0$と仮定します。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の種類（異なる2つの解 $\alpha, \beta$、一つの解、なし）と、不等式 $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$ の解の関係を表にまとめる問題です。表中の①～⑤を埋める必要があります。ただし、$a > 0$と仮定します。

2. 解き方の手順

* **①について:** $ax^2 + bx + c \geq 0$ となるのは、$ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの解 $\alpha, \beta$ を持つときです。このとき、$x \leq \alpha$ または $x \geq \beta$ の範囲で不等式が成り立ちます。

* **②について:** $ax^2 + bx + c \leq 0$ となるのは、$ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの解 $\alpha, \beta$ を持つときです。このとき、$\alpha \leq x \leq \beta$ の範囲で不等式が成り立ちます。

* **③について:** $ax^2 + bx + c > 0$ となるのは、$ax^2 + bx + c = 0$ が一つの解（重解）$\alpha$ を持つときです。このとき、$x \neq \alpha$ である全ての実数で不等式が成り立ちます。

* **④について:** $ax^2 + bx + c < 0$ となるのは、$ax^2 + bx + c = 0$ が解を持たないときです。このとき、不等式を満たす $x$ は存在しません。

* **⑤について:** $ax^2 + bx + c \geq 0$ となるのは、$ax^2 + bx + c = 0$ が解を持たないときです。このとき、全ての実数 $x$ で不等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

①: $x \leq \alpha, x \geq \beta$

②: $\alpha \leq x \leq \beta$

③: $x \neq \alpha$

④: 解なし

⑤: すべての実数