次の3つの二次関数の最大値、最小値を求めます。 (1) $y = 2x^2 - 4x - 3$ (2) $y = 2x^2 - 8x + 13$ (3) $y = -3x^2 - 6x + 7$

1. 問題の内容

次の3つの二次関数の最大値、最小値を求めます。

(1) $y = 2x^2 - 4x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 13$

(3) $y = -3x^2 - 6x + 7$

2. 解き方の手順

二次関数の最大値、最小値を求めるには、平方完成を行います。

(1) $y = 2x^2 - 4x - 3$

$y = 2(x^2 - 2x) - 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 3$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 3$

$y = 2(x - 1)^2 - 5$

この関数は下に凸の放物線であり、頂点は $(1, -5)$ です。

したがって、最小値は $-5$ （$x = 1$ のとき）であり、最大値はありません。

(2) $y = 2x^2 - 8x + 13$

$y = 2(x^2 - 4x) + 13$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 13$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 13$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 13$

$y = 2(x - 2)^2 + 5$

この関数は下に凸の放物線であり、頂点は $(2, 5)$ です。

したがって、最小値は $5$ （$x = 2$ のとき）であり、最大値はありません。

(3) $y = -3x^2 - 6x + 7$

$y = -3(x^2 + 2x) + 7$

$y = -3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 7$

$y = -3((x + 1)^2 - 1) + 7$

$y = -3(x + 1)^2 + 3 + 7$

$y = -3(x + 1)^2 + 10$

この関数は上に凸の放物線であり、頂点は $(-1, 10)$ です。

したがって、最大値は $10$ （$x = -1$ のとき）であり、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-5$、最大値: なし

(2) 最小値: $5$、最大値: なし

(3) 最大値: $10$、最小値: なし