2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たす $a$ の値の範囲をそれぞれ求めます。 (1) 2解がともに1より大きい。 (2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。 (3) 2解がともに0と3の間にある。 (4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たす $a$ の値の範囲をそれぞれ求めます。

(1) 2解がともに1より大きい。

(2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。

(3) 2解がともに0と3の間にある。

(4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とします。

(1) 2解がともに1より大きい場合:

* 判別式 $D \ge 0$

* 軸 $a > 1$

* $f(1) > 0$

$D/4 = a^2 - 4 \ge 0 \implies a \le -2 \text{ or } a \ge 2$

$a > 1$

$f(1) = 1 - 2a + 4 > 0 \implies 2a < 5 \implies a < 5/2$

したがって、$2 \le a < 5/2$

(2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい場合:

$f(1) < 0$

$f(1) = 1 - 2a + 4 < 0 \implies 2a > 5 \implies a > 5/2$

(3) 2解がともに0と3の間にある場合:

* 判別式 $D \ge 0$

* 軸 $0 < a < 3$

* $f(0) > 0$

* $f(3) > 0$

$D/4 = a^2 - 4 \ge 0 \implies a \le -2 \text{ or } a \ge 2$

$0 < a < 3$

$f(0) = 4 > 0$ (常に成り立つ)

$f(3) = 9 - 6a + 4 > 0 \implies 6a < 13 \implies a < 13/6$

したがって、$2 \le a < 13/6$

(4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある場合:

$f(2) < 0$

$f(0) > 0$

$f(4) > 0$

$f(2) = 4 - 4a + 4 < 0 \implies 4a > 8 \implies a > 2$

$f(0) = 4 > 0$ (常に成り立つ)

$f(4) = 16 - 8a + 4 > 0 \implies 8a < 20 \implies a < 5/2$

したがって、$2 < a < 5/2$

3. 最終的な答え

(1) $2 \le a < \frac{5}{2}$

(2) $a > \frac{5}{2}$

(3) $2 \le a < \frac{13}{6}$

(4) $2 < a <frac{5}{2}$