問題は、以下の内容を含んでいます。 * (1) $(x-2)^3$ の展開式における $x^2$ の係数を求める。 * (2) 多項式 $x^3+4x^2-3x+1$ を多項式 $A$ で割ったときの商が $x+3$、余りが $-8x-5$ であるとき、$A$ を求める。 * (3) $a>0, b>0$ とする。$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を利用して、$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。 * (4) $\frac{1+2i}{4+3i}$ を分母が実数となるように変形する。 * (II) 実数 $a, b$ を係数とする2次方程式 $2x^2+ax+b=0$ に関する問題。 * (1) 解と係数の関係から、2つの解 $\alpha, \beta$ に対して $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を $a, b$ で表す。 * (2) 解の1つが $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ であるとき、もう1つの解を求め、$a, b$ の値を求める。 * (3) $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ とその共役複素数、および $-3$ を解に持つ3次方程式で、$x^3$ の係数が 2 であるものを求める。

1. 問題の内容

問題は、以下の内容を含んでいます。

* (1) $(x-2)^3$ の展開式における $x^2$ の係数を求める。

* (2) 多項式 $x^3+4x^2-3x+1$ を多項式 $A$ で割ったときの商が $x+3$、余りが $-8x-5$ であるとき、$A$ を求める。

* (3) $a>0, b>0$ とする。$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を利用して、$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。

* (4) $\frac{1+2i}{4+3i}$ を分母が実数となるように変形する。

* (II) 実数 $a, b$ を係数とする2次方程式 $2x^2+ax+b=0$ に関する問題。

* (1) 解と係数の関係から、2つの解 $\alpha, \beta$ に対して $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を $a, b$ で表す。

* (2) 解の1つが $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ であるとき、もう1つの解を求め、$a, b$ の値を求める。

* (3) $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ とその共役複素数、および $-3$ を解に持つ3次方程式で、$x^3$ の係数が 2 であるものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x-2)^3 = x^3 - 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

よって、$x^2$ の係数は $-6$。

(2) $x^3+4x^2-3x+1 = A(x+3) - 8x - 5$ より、 $A(x+3) = x^3+4x^2+5x+6$

$A = \frac{x^3+4x^2+5x+6}{x+3}$

筆算または組立除法により、$A = x^2+x+2$

(3) $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

相加平均・相乗平均の大小関係より、$ab + \frac{4}{ab} \geq 2\sqrt{ab\cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

したがって、$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) \geq 4 + 5 = 9$

等号成立は、$ab = \frac{4}{ab}$、つまり $ab = 2$ のとき。

よって、$ab = 2$ のとき、最小値 $9$ をとる。

(4) $\frac{1+2i}{4+3i} = \frac{(1+2i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{4-3i+8i-6i^2}{16-9i^2} = \frac{4+5i+6}{16+9} = \frac{10+5i}{25} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$

(II)

(1) 解と係数の関係より、$\alpha+\beta = -\frac{a}{2}$, $\alpha\beta = \frac{b}{2}$

(2) 解の1つが $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}$ であるとき、係数が実数なので、もう1つの解は $\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$

$\alpha+\beta = \frac{3-\sqrt{7}i}{4} + \frac{3+\sqrt{7}i}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\alpha\beta = (\frac{3-\sqrt{7}i}{4})(\frac{3+\sqrt{7}i}{4}) = \frac{9+7}{16} = \frac{16}{16} = 1$

$-\frac{a}{2} = \frac{3}{2}$ より、$a = -3$

$\frac{b}{2} = 1$ より、$b = 2$

(3) 3つの解は $\frac{3-\sqrt{7}i}{4}, \frac{3+\sqrt{7}i}{4}, -3$

求める3次方程式は、

$2(x - \frac{3-\sqrt{7}i}{4})(x - \frac{3+\sqrt{7}i}{4})(x+3) = 0$

$2(x^2 - \frac{3}{2}x + 1)(x+3) = 0$

$2(x^3 + 3x^2 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x + x + 3) = 0$

$2(x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 3) = 0$

$2x^3 + 3x^2 - 7x + 6 = 0$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -6

(2) ウ: $x^2+x+2$

(3) エ: 5, オ: 4, カ: 2, キ: 9

(4) ク: 10/25, ケ: 1/5

(II)

(1) コ: $-\frac{a}{2}$, サ: $\frac{b}{2}$

(2) シ: $\frac{3+\sqrt{7}i}{4}$, スセ: -3, ソ: 2

(3) タ: 3, チ: -7, ツ: 6