$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $a+2b+b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a+2b+b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。

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\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}

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次に、$\sqrt{3}$ のおおよその値を考えます。$\sqrt{1} = 1$ であり、$\sqrt{4} = 2$ であることから、$1 < \sqrt{3} < 2$ がわかります。より正確には、$1.7^2 = 2.89$、$1.8^2 = 3.24$ であることから、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ と推定できます。したがって、$2+1.7 < 2+\sqrt{3} < 2+1.8$ となり、$3.7 < 2+\sqrt{3} < 3.8$ となります。

$2+\sqrt{3}$ の整数部分は $a = 3$ です。

小数部分 $b$ は、$b = (2+\sqrt{3}) - a = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$ となります。

(2) $a+2b+b^2$ の値を求めます。$a=3$、$b=\sqrt{3}-1$ を代入します。

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a+2b+b^2 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2

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= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1)

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= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3}

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= 3 - 2 + 4

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= 5

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3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{3}-1$

(2) $a+2b+b^2 = 5$