線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5$ が $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ で定義されています。ここで、$A$ は以下の行列です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -6 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & -9 & 3 & 6 \end{pmatrix}$ (i) $Im f$ (像) の基底を求めよ。 (ii) $Ker f$ (核) の基底を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5$ が $f(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ で定義されています。ここで、$A$ は以下の行列です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -6 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & -9 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

(i) $Im f$ (像) の基底を求めよ。

(ii) $Ker f$ (核) の基底を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $Im f$ の基底を求めるには、行列 $A$ の列ベクトルの中で線形独立なものを探します。

まず、行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -6 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & -9 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

2行目と4行目を入れ替える：

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & -6 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & -9 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

1行目に1行目を足す、1行目を2倍して3行目から引く、1行目を3倍して5行目から引く：

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引く、4行目から2行目を引く、5行目から2行目の3倍を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は、$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。

ピボットのある列は1列目と3列目なので、行列 $A$ の1列目と3列目が $Im f$ の基底になります。

(ii) $Ker f$ の基底を求めるには、$A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ となる $\mathbf{v}$ を探します。

簡約化された行列から、以下の連立方程式が得られます。

$x_1 - 3x_2 + x_4 = 0$

$x_3 + x_4 = 0$

$x_1 = 3x_2 - x_4$

$x_3 = -x_4$

$x_2$ と $x_4$ を自由変数とします。$x_2 = s$, $x_4 = t$ とすると、

$x_1 = 3s - t$

$x_3 = -t$

したがって、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3s - t \\ s \\ -t \\ t \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、 $Ker f$ の基底は $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

(i) $Im f$ の基底: $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(ii) $Ker f$ の基底: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$