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行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、(i) $^tAA$ と $A ^tA$ を計算し、(ii) 行列 $^tAA$ の階数を求める問題です。

代数学行列転置行列行列の積階数線形代数
2025/7/24

1. 問題の内容

行列 A=[2−1−213−20−1]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \end{bmatrix} が与えられたとき、(i) tAA^tAA と AtAA ^tA を計算し、(ii) 行列 tAA^tAA の階数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) まず、行列 AA の転置行列 tA^tA を求めます。
tA=[23−1−2−201−1]^tA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \\ -2 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
次に、tAA^tAA を計算します。
tAA=[23−1−2−201−1][2−1−213−20−1]=[13−8−4−1−852−1−424−2−1−1−22]^tAA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \\ -2 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ -8 & 5 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 4 & -2 \\ -1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
次に、AtAA ^tA を計算します。
AtA=[2−1−213−20−1][23−1−2−201−1]=[4+1+4+16+2+0−16+2+0−19+4+0+1]=[107714]A ^tA = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \\ -2 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+1+4+1 & 6+2+0-1 \\ 6+2+0-1 & 9+4+0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 7 \\ 7 & 14 \end{bmatrix}
(ii) 行列 tAA^tAA の階数を求めます。tAA^tAA は4x4の行列なので、階数は最大で4です。tAA=[13−8−4−1−852−1−424−2−1−1−22]^tAA = \begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ -8 & 5 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 4 & -2 \\ -1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
行列式の計算は複雑になるため、行基本変形を用いて簡約化します。
まず、1行目を8/13倍して2行目に足し、1行目を4/13倍して3行目に足し、1行目を1/13倍して4行目に足します。
[13−8−4−105−64/132−32/13−1−8/1302−32/134−16/13−2−4/130−1−8/13−2−4/132−1/13]=[13−8−4−101/13−6/13−21/130−6/1336/13−30/130−21/13−30/1325/13]\begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ 0 & 5 - 64/13 & 2 - 32/13 & -1 - 8/13 \\ 0 & 2 - 32/13 & 4 - 16/13 & -2 - 4/13 \\ 0 & -1 - 8/13 & -2 - 4/13 & 2 - 1/13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ 0 & 1/13 & -6/13 & -21/13 \\ 0 & -6/13 & 36/13 & -30/13 \\ 0 & -21/13 & -30/13 & 25/13 \end{bmatrix}
[13−8−4−101−6−210−636−300−21−3025]\begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -6 & -21 \\ 0 & -6 & 36 & -30 \\ 0 & -21 & -30 & 25 \end{bmatrix}
2行目を6倍して3行目に足し、2行目を21倍して4行目に足します。
[13−8−4−101−6−21000−15600−156−416]\begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -6 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & -156 \\ 0 & 0 & -156 & -416 \end{bmatrix}
[13−8−4−101−6−2100−156−416000−156]\begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -6 & -21 \\ 0 & 0 & -156 & -416 \\ 0 & 0 & 0 & -156 \end{bmatrix}
階数は3となります。
元の行列Aのランクは2です。

3. 最終的な答え

tAA=[13−8−4−1−852−1−424−2−1−1−22]^tAA = \begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ -8 & 5 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 4 & -2 \\ -1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
AtA=[107714]A ^tA = \begin{bmatrix} 10 & 7 \\ 7 & 14 \end{bmatrix}
行列tAA^tAA の階数は 2 です。
(訂正：Aのランクが2なのでtAA^tAAのランクも2)
ランク2であることの証明:
[13−8−4−1−852−1−424−2−1−1−22]\begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ -8 & 5 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 4 & -2 \\ -1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
まず3行目を2で割ると[−212−1]\begin{bmatrix} -2 & 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}
4行目を-1で割ると[112−2]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}
これらのベクトルは独立である。
最終的な答え：
tAA=[13−8−4−1−852−1−424−2−1−1−22]^tAA = \begin{bmatrix} 13 & -8 & -4 & -1 \\ -8 & 5 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 4 & -2 \\ -1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
AtA=[107714]A ^tA = \begin{bmatrix} 10 & 7 \\ 7 & 14 \end{bmatrix}
行列tAA^tAA の階数: 2

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