与えられた2つの4x4行列の行列式を計算します。(1)は第3行に関する展開、(2)は第4列に関する展開を用いて計算します。代数学行列式行列余因子展開2025/7/241. 問題の内容与えられた2つの4x4行列の行列式を計算します。(1)は第3行に関する展開、(2)は第4列に関する展開を用いて計算します。2. 解き方の手順(1)与えられた行列をAとします。A=∣053123−2204004−123∣A = \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}A=0204534−13−2021203第3行で展開すると、det(A)=0⋅C31+4⋅C32+0⋅C33+0⋅C34=4⋅C32\det(A) = 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 0 \cdot C_{34} = 4 \cdot C_{32}det(A)=0⋅C31+4⋅C32+0⋅C33+0⋅C34=4⋅C32ここで、C32C_{32}C32は(3,2)要素の余因子です。C32=(−1)3+2∣0312−22423∣=−∣0312−22423∣C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}C32=(−1)3+20243−22123=−0243−22123∣0312−22423∣=0∣−2223∣−3∣2243∣+1∣2−242∣=−3(6−8)+(4−(−8))=−3(−2)+12=6+12=18\begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -3(6-8) + (4-(-8)) = -3(-2) + 12 = 6 + 12 = 180243−22123=0−2223−32423+124−22=−3(6−8)+(4−(−8))=−3(−2)+12=6+12=18C32=−18C_{32} = -18C32=−18det(A)=4⋅(−18)=−72\det(A) = 4 \cdot (-18) = -72det(A)=4⋅(−18)=−72(2)与えられた行列をBとします。B=∣22−10−32−1014−204−532∣B = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & -2 & 0 \\ 4 & -5 & 3 & 2 \end{vmatrix}B=2−314224−5−1−1−230002第4列で展開すると、det(B)=0⋅C14+0⋅C24+0⋅C34+2⋅C44=2⋅C44\det(B) = 0 \cdot C_{14} + 0 \cdot C_{24} + 0 \cdot C_{34} + 2 \cdot C_{44} = 2 \cdot C_{44}det(B)=0⋅C14+0⋅C24+0⋅C34+2⋅C44=2⋅C44ここで、C44C_{44}C44は(4,4)要素の余因子です。C44=(−1)4+4∣22−1−32−114−2∣=∣22−1−32−114−2∣C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}C44=(−1)4+42−31224−1−1−2=2−31224−1−1−2∣22−1−32−114−2∣=2∣2−14−2∣−2∣−3−11−2∣−1∣−3214∣=2(−4−(−4))−2(6−(−1))−(−12−2)=2(0)−2(7)−(−14)=0−14+14=0\begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4 - (-4)) - 2(6 - (-1)) - (-12 - 2) = 2(0) - 2(7) - (-14) = 0 - 14 + 14 = 02−31224−1−1−2=224−1−2−2−31−1−2−1−3124=2(−4−(−4))−2(6−(−1))−(−12−2)=2(0)−2(7)−(−14)=0−14+14=0C44=0C_{44} = 0C44=0det(B)=2⋅0=0\det(B) = 2 \cdot 0 = 0det(B)=2⋅0=03. 最終的な答え(1) -72(2) 0