与えられた2つの4x4行列の行列式を計算します。(1)は第3行に関する展開、(2)は第4列に関する展開を用いて計算します。

代数学行列式行列余因子展開
2025/7/24

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列の行列式を計算します。(1)は第3行に関する展開、(2)は第4列に関する展開を用いて計算します。

2. 解き方の手順

(1)
与えられた行列をAとします。
A=0531232204004123A = \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}
第3行で展開すると、
det(A)=0C31+4C32+0C33+0C34=4C32\det(A) = 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 0 \cdot C_{34} = 4 \cdot C_{32}
ここで、C32C_{32}は(3,2)要素の余因子です。
C32=(1)3+2031222423=031222423C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}
031222423=0222332243+12242=3(68)+(4(8))=3(2)+12=6+12=18\begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -3(6-8) + (4-(-8)) = -3(-2) + 12 = 6 + 12 = 18
C32=18C_{32} = -18
det(A)=4(18)=72\det(A) = 4 \cdot (-18) = -72
(2)
与えられた行列をBとします。
B=2210321014204532B = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & -2 & 0 \\ 4 & -5 & 3 & 2 \end{vmatrix}
第4列で展開すると、
det(B)=0C14+0C24+0C34+2C44=2C44\det(B) = 0 \cdot C_{14} + 0 \cdot C_{24} + 0 \cdot C_{34} + 2 \cdot C_{44} = 2 \cdot C_{44}
ここで、C44C_{44}は(4,4)要素の余因子です。
C44=(1)4+4221321142=221321142C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}
221321142=221422311213214=2(4(4))2(6(1))(122)=2(0)2(7)(14)=014+14=0\begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4 - (-4)) - 2(6 - (-1)) - (-12 - 2) = 2(0) - 2(7) - (-14) = 0 - 14 + 14 = 0
C44=0C_{44} = 0
det(B)=20=0\det(B) = 2 \cdot 0 = 0

3. 最終的な答え

(1) -72
(2) 0

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