与えられた数式を計算して、その値を求めます。数式は以下の通りです。 $\log_2 12^2 + \frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3}\log_2 3$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算して、その値を求めます。数式は以下の通りです。

$\log_2 12^2 + \frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3}\log_2 3$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

(1) $\log_2 12^2 = 2 \log_2 12 = 2 \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 (\log_2 2^2 + \log_2 3) = 2(2 + \log_2 3) = 4 + 2 \log_2 3$

(2) $\frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} = \frac{2}{3} (\log_2 2 - \log_2 3) = \frac{2}{3} (1 - \log_2 3) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\log_2 3$

(3) 与えられた式に(1)と(2)の結果を代入します。

$4 + 2 \log_2 3 + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\log_2 3 - \frac{4}{3}\log_2 3 = 4 + \frac{2}{3} + (2 - \frac{2}{3} - \frac{4}{3}) \log_2 3 = \frac{14}{3} + (2 - \frac{6}{3}) \log_2 3 = \frac{14}{3} + (2-2)\log_2 3 = \frac{14}{3} + 0 \cdot \log_2 3 = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$