(1) 原点を中心として $\theta$ 回転させる平面上の1次変換を表す行列を求めます。 (2) $2 \times 2$ 対称行列の例を2つ挙げます。 (3) 零行列ではない $2 \times 2$ 行列 $A$ で、$A^2 = O$ を満たす例を1つ挙げます。ここで、$O$ は零行列を表します。

1. 問題の内容

(1) 原点を中心として $\theta$ 回転させる平面上の1次変換を表す行列を求めます。

(2) $2 \times 2$ 対称行列の例を2つ挙げます。

(3) 零行列ではない $2 \times 2$ 行列 $A$ で、$A^2 = O$ を満たす例を1つ挙げます。ここで、$O$ は零行列を表します。

2. 解き方の手順

(1) 平面上の点を原点中心に $\theta$ 回転させる変換は、

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

で与えられます。したがって、求める行列は

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$

です。

(2) $2 \times 2$ 対称行列は

$$\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$$

の形で表されます。ここで、$a, b, c$ は任意の実数です。例として、

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

などが挙げられます。

(3) 求める行列を

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

とします。$A^2 = O$ であることから、

$$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

となります。したがって、

$$a^2 + bc = 0, \quad ab + bd = b(a+d) = 0, \quad ca + dc = c(a+d) = 0, \quad cb + d^2 = 0$$

を満たす必要があります。$A$ は零行列ではないので、$a, b, c, d$ の少なくとも一つは 0 でない必要があります。

$a + d = 0$、つまり $d = -a$ とすると、$a^2 + bc = 0$ および $cb + d^2 = cb + a^2 = 0$ となり、$bc = -a^2$ を満たします。

例として、$a = 1$ とすると、$bc = -1$ となる $b, c$ を選べばよいので、$b = 1, c = -1$ とできます。このとき、$d = -a = -1$ となり、

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

が得られます。この行列は零行列ではなく、$A^2 = O$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$