* 問題11-1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、またその場合の逆行列を求める。 * 問題11-2: 逆行列を利用して、連立方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 5x - 6y = -1 \end{cases}$ を解く。 * 問題11-3: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる実数 $x, y$ を求める。 * 問題11-4: 次の行列の逆行列があれば求め、なければ「なし」と答える。 * (1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ * (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ * (3) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ * (4) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。問題集の数学の問題を解いていきます。

1. **問題の内容**

* 問題11-1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、またその場合の逆行列を求める。

* 問題11-2: 逆行列を利用して、連立方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 5x - 6y = -1 \end{cases}$ を解く。

* 問題11-3: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる実数 $x, y$ を求める。

* 問題11-4: 次の行列の逆行列があれば求め、なければ「なし」と答える。

* (1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

* (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

* (3) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

* (4) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

2. **解き方の手順**

* 問題11-1:

* 行列 $A$ が逆行列を持つための条件は、行列式 $\det(A) \neq 0$ であること。

* $\det(A) = (1)(3) - (a)(2) = 3 - 2a$

* $3 - 2a \neq 0$ より、$a \neq \frac{3}{2}$。

* 逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3-2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$。

* 問題11-2:

* 連立方程式を行列で表すと、$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。

* 行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(B) = (3)(-6) - (5)(5) = -18 - 25 = -43$。

* $B^{-1} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$。

* $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = B^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ -10 - 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -7 \\ -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{43} \\ \frac{13}{43} \end{pmatrix}$。

* 問題11-3:

* $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ を成分ごとに書くと、$\begin{cases} 2x - 5y = 3 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases}$。

* 連立方程式を解く。1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍すると、$\begin{cases} 6x - 15y = 9 \\ 6x + 4y = 2 \end{cases}$。

* 上の式から下の式を引くと、$-19y = 7$ より、$y = -\frac{7}{19}$。

* $3x + 2(-\frac{7}{19}) = 1$ より、$3x = 1 + \frac{14}{19} = \frac{33}{19}$。よって、$x = \frac{11}{19}$。

* 問題11-4:

* (1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)(2) - (3)(-1) = 2 + 3 = 5$。逆行列は $\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

* (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式は $(2)(1)(3) = 6$。逆行列は $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$。

* (3) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は 0。逆行列は「なし」。

* (4) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)((3)(2) - (2)(0)) - (1)((0)(2) - (2)(-1)) = 6 - 2 = 4$。逆行列は $\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$。

3. **最終的な答え**

* 問題11-1: $a \neq \frac{3}{2}$ のとき、 $A^{-1} = \frac{1}{3-2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$。

* 問題11-2: $x = \frac{7}{43}$, $y = \frac{13}{43}$。

* 問題11-3: $x = \frac{11}{19}$, $y = -\frac{7}{19}$。

* 問題11-4:

* (1) $\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

* (2) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

* (3) なし

* (4) $\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$