数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。

* $S_n = n^2 + 5n$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 5(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 5n - 5 = n^2 + 3n - 4$

* したがって、

$a_n = (n^2 + 5n) - (n^2 + 3n - 4) = 2n + 4$

* $n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 5(1) = 6$

* $a_n = 2n+4$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) + 4 = 6$ となり、$n=1$ でも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 4$