行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる1次変換を $f$ とします。以下の問いに答えます。 (1) 点 $P(1, 1)$ の $f$ による像を求めます。 (2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めます。 (3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。 (4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる1次変換を $f$ とします。以下の問いに答えます。

(1) 点 $P(1, 1)$ の $f$ による像を求めます。

(2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めます。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。

(4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(1, 1)$ の像を求めるには、行列 $A$ をベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ にかけます。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 9 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $x - y = 0$ 、つまり $y = x$ 上の点を $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}$ とします。この点の像は、

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x - 9x \\ 2x - 3x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x \\ -x \end{pmatrix}$

この像を $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ とすると、$X = -3x$、$Y = -x$ となります。したがって、$X = 3Y$。よって、$f$ による像は直線 $X - 3Y = 0$ です。

(3) 零ベクトルの逆像を求めるには、$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x - 9y \\ 2x - 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは、$6x - 9y = 0$ および $2x - 3y = 0$ を意味します。どちらの式も $2x - 3y = 0$ と同値なので、$2x = 3y$、つまり $x = \frac{3}{2}y$ となります。したがって、零ベクトルの逆像は直線 $2x - 3y = 0$ です。

(4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。行列 $A$ の行列式を計算すると、

$\det(A) = (6)(-3) - (-9)(2) = -18 + 18 = 0$

行列式が0なので、$A$ は正則行列ではありません。したがって、$f$ は1対1対応ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $(-3, -1)$

(2) $x - 3y = 0$

(3) $2x - 3y = 0$

(4) 1対1対応ではない