与えられた画像にある数学の問題を解きます。具体的には、問1から問8までの空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた画像にある数学の問題を解きます。具体的には、問1から問8までの空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

以下、各問題について解き方と答えを示します。

問1: $2x^2 + x - 15 = (アx + イ)(ウx - エ)$

$2x^2 + x - 15$ を因数分解します。

$2x^2 + x - 15 = (2x - 5)(x + 3)$

よって、ア=2, イ=3, ウ=1, エ=5

問2: $x=\frac{7+\sqrt{3}}{2}, y=\frac{7-\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2+y^2=$ オ である。

$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2xy$である。

$x+y = \frac{7+\sqrt{3}}{2} + \frac{7-\sqrt{3}}{2} = 7$

$xy = \frac{7+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{7-\sqrt{3}}{2} = \frac{49-3}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$

$x^2+y^2=7^2 - 2 \cdot \frac{23}{2} = 49 - 23 = 26$

よって、オ=26

問3: $0 \le x \le 4$ における関数 $f(x) = x^2 - 6x + 7$ の最大値は カ である。

$f(x) = x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 2$

軸は $x = 3$ で、下に凸の放物線。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値を求める。

$f(0) = 7$

$f(4) = 16 - 24 + 7 = -1$

よって、最大値は $f(0) = 7$

よって、カ=7

問4: 2次不等式 $x^2 - 4x - 12 < 0$ の解は キ である。

$x^2 - 4x - 12 < 0$

$(x - 6)(x + 2) < 0$

$-2 < x < 6$

よって、キ=$-2 < x < 6$

問5: $x=3$ のとき、$|x-2|+|x-3|+|x-4|=$ ク である。

$|3-2|+|3-3|+|3-4| = |1|+|0|+|-1| = 1+0+1 = 2$

よって、ク=2

問6: x, y を自然数とする。命題「x, y の少なくとも一方が偶数ならば、xy は偶数である」の対偶は ケ である。

元の命題の対偶は、「xy が奇数ならば、x, y はともに奇数である」

よって、ケ=xy が奇数ならば、x, y はともに奇数である

問7: △ABC において、AB = 6, BC = 3, CA = 5 であるとする。このとき、余弦定理より cos∠ABC = コ である。

余弦定理より

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠ABC$

$5^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot cos∠ABC$

$25 = 36 + 9 - 36 \cdot cos∠ABC$

$36 \cdot cos∠ABC = 20$

$cos∠ABC = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

よって、コ=5/9

問8: △ABC において、AB = 3, ∠ABC = 45°, ∠ACB = 60° であるとする。このとき、正弦定理より AC = サ である。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin ∠ABC} = \frac{AB}{\sin ∠ACB}$

$\frac{AC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3}{\sin 60^{\circ}}$

$AC = \frac{3 \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$

$AC = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

問1: ア=2, イ=3, ウ=1, エ=5

問2: オ=26

問3: カ=7

問4: キ=-2 < x < 6

問5: ク=2

問6: ケ=xy が奇数ならば、x, y はともに奇数である

問7: コ=5/9

問8: サ=√6