次の4つの式を展開する問題です。 (1) $(a-b-c)^2$ (2) $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$ (3) $(x+3y)^2(x-3y)^2$ (4) $(x^2+x-2)(x^2-x-2)$

1. 問題の内容

次の4つの式を展開する問題です。

(1) $(a-b-c)^2$

(2) $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$

(3) $(x+3y)^2(x-3y)^2$

(4) $(x^2+x-2)(x^2-x-2)$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b-c)^2$ を展開します。

$(a-b-c)^2 = ((a-b)-c)^2 = (a-b)^2 - 2(a-b)c + c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

(2) $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$ を展開します。

まず、$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

次に、$(x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

(3) $(x+3y)^2(x-3y)^2$ を展開します。

$(x+3y)(x-3y) = x^2 - 9y^2$ なので、

$(x+3y)^2(x-3y)^2 = ((x+3y)(x-3y))^2 = (x^2 - 9y^2)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

(4) $(x^2+x-2)(x^2-x-2)$ を展開します。

$x^2-2 = A$ とおくと、$(A+x)(A-x) = A^2 - x^2 = (x^2-2)^2 - x^2 = x^4 - 4x^2 + 4 - x^2 = x^4 - 5x^2 + 4$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$

(2) $x^4-y^4$

(3) $x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

(4) $x^4-5x^2+4$