ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $|\vec{a}|$ (2) $|\vec{b}|$ (3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦 (cos)

はい、承知いたしました。画像にある9番の問題を解きます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $|\vec{a}|$

(2) $|\vec{b}|$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(4) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角の余弦 (cos)

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{a}$ の大きさ (ノルム) $|\vec{a}|$ は、ベクトルの各成分の二乗の和の平方根で求められます。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2}$

(2) ベクトル $\vec{b}$ の大きさ (ノルム) $|\vec{b}|$ も同様に求められます。

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2}$

(3) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、対応する成分同士の積の和で求められます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (1)(1)$

(4) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、その余弦 $\cos \theta$ は次の式で求められます。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

(2) $|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (1)(1) = -6 + 1 = -5$

(4) $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、答えは以下のようになります。

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{5}$

(2) $|\vec{b}| = \sqrt{10}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$

(4) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$