2桁の自然数がある。この数の一の位の数と十の位の数の和は11である。また、一の位の数と十の位の数を入れ替えると、元の数よりも45小さくなる。元の自然数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数がある。この数の一の位の数と十の位の数の和は11である。また、一の位の数と十の位の数を入れ替えると、元の数よりも45小さくなる。元の自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の数の十の位を$x$、一の位を$y$とおく。

このとき、元の数は$10x + y$と表せる。

問題文より、以下の2つの式が立てられる。

* 一の位の数と十の位の数の和は11：

$x + y = 11$

* 位を入れ替えると元の数より45小さくなる：

$10y + x = 10x + y - 45$

2つ目の式を整理する。

$10y + x = 10x + y - 45$

$9y - 9x = -45$

$y - x = -5$

連立方程式

$x + y = 11$

$y - x = -5$

を解く。

2つの式を足し合わせると

$2y = 6$

$y = 3$

$y = 3$を$x + y = 11$に代入すると

$x + 3 = 11$

$x = 8$

よって、元の数は$10x + y = 10 \times 8 + 3 = 83$

3. 最終的な答え

83