$\mathbb{R}^3$ のベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ が $\mathbb{R}^3$ を生成するということの定義を記述し、与えられたベクトルが実際に $\mathbb{R}^3$ を生成するかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ のベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ が $\mathbb{R}^3$ を生成するということの定義を記述し、与えられたベクトルが実際に $\mathbb{R}^3$ を生成するかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbb{R}^3$ のベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ が $\mathbb{R}^3$ を生成するとは何かを述べます。

$\mathbb{R}^3$ の任意のベクトルが、$u_1, u_2, u_3, u_4$ の線形結合で表せるということです。

言い換えれば、任意のベクトル $v \in \mathbb{R}^3$ に対して、スカラー $c_1, c_2, c_3, c_4$ が存在し、$v = c_1u_1 + c_2u_2 + c_3u_3 + c_4u_4$ と表せることです。

次に、与えられたベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ が $\mathbb{R}^3$ を生成するかどうかを判定します。

ベクトルが $\mathbb{R}^3$ を生成するかどうかは、これらのベクトルを列ベクトルとする行列のランクを調べることで判定できます。

4つの3次元ベクトルなので、そのうちの3つが線形独立であれば$\mathbb{R}^3$を生成します。

(i) の場合:

$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, u_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, u_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}, u_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 5 \end{bmatrix}$

$u_3 = \frac{3}{2}(u_1 + u_2)$

$u_4 = -\frac{5}{2}(u_1 + u_2)$

したがって、$u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$は線形従属です。

$u_1$と$u_2$は明らかに線形独立なので、$u_1$と$u_2$が張る空間は2次元です。

したがって、$u_1, u_2, u_3, u_4$は$\mathbb{R}^3$を生成しません。

(ii) の場合:

$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, u_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, u_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, u_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$

これらのベクトルから3つ選んで行列を作り、行列式が0でないかどうかを調べます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$det(A) = 1(2-2) - (-1)(2-2) + 0 = 0$

$B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ -1 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

$det(B) = 1(10+4) - (-1)(10+4) + 3(-2+2) = 14 + 14 + 0 = 28 \neq 0$

したがって、$u_1, u_2, u_4$は線形独立なので、$u_1, u_2, u_3, u_4$は$\mathbb{R}^3$を生成します。

3. 最終的な答え

ベクトル $u_1, u_2, u_3, u_4$ が $\mathbb{R}^3$ を生成するとは、$\mathbb{R}^3$ の任意のベクトルが、$u_1, u_2, u_3, u_4$ の線形結合で表せることです。

(i) $u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, u_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, u_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}, u_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 5 \end{bmatrix}$ は $\mathbb{R}^3$ を生成 { しない }。

(ii) $u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, u_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}, u_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, u_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ は $\mathbb{R}^3$ を生成 { する }。